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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\bigskip

Soit $A$ et $B$ deux applications polynômes définies, dans $\R$, par
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&4(4x - 1)^2 - 9(2x + 1)^2,\\
B(x)&= &196x^2+ 28x + 1 - (14x + 1)(13x -2).
\end{array}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x)$ et $B(x)$ sous la forme de produits de fonctions polynômes du premier degré.
\item Soit $F$ la fonction rationnelle définie, dans $\R$, par
\[ F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\Delta$ de $F$.
		\item Montrer que pour $x$, élément de $\Delta$, on a

\[F(x) = \dfrac{2x - 5}{x + 3}.\]

		\item Calculer les images par F des réels suivants:
\[- \dfrac72, \qquad \sqrt 2 - 2.\]

(Rendre rationnel le dénominateur.)
	\end{enumerate}
\item De quel élément, de $\R$ , 1 est-il l'image par $F$ ?
\item Déterminer l'ensemble $E$ des nombres réels tels que $F(x)\leqslant 0$.
\item Représenter graphiquement les fonctions affines $f$ et $g$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 2x - 5, \\
g(x)&=&x +3.
\end{array}\]

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection des droites représentatives de ces fonctions ?

Comparer l'abscisse de ce point au résultat de la question 3. Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\bigskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [A, B] tel que $d$(A, B) $= 5$.

Soit M un point du cercle $\mathcal{C}$ tel que
\begin{center}$d$(A, M) $= 2,5$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en prenant comme unité le centimètre.
\item Quelle est la nature du triangle (A, M, B) ?

Calculer $d$(M, B).
\item Soit P le point du plan tel que AM = MP.

Montrer que la droite (MB) est la médiatrice du segment [A, P].

Montrer que (A, B, P) est un triangle équilatéral.
\item Soit P$'$ le projeté orthogonal de P sur la droite (AB). 

Montrer que P$'$ est le centre de $\mathcal{C}$.
\item Soit $(\Delta)$ la droite perpendiculaire en P à la droite (AP). 

On pose: (AB) $\cap(\Delta) = \{\text{H}\}$.

Montrer que B est le milieu de [A, H]. Calculer $d$(P, H).
\item On appelle $\mathcal{C}'$ le cercle de centre B et qui a pour rayon $d$(A, B).

Montrer que H et P appartiennent au cercle $\mathcal{C}'$,
\item Soit N un point quelconque du cercle (on
choisira N distinct de A et de B). La droite (AN) a un deuxième point commun avec $\mathcal{C}'$ que l'on appelle Q. 

Montrer que N est le milieu de [A, Q].
\end{enumerate}
\end{document}