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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1984}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système suivant:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y &=& 2\\
 x - y &=& 4
\end{array}\right.\]

\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} construire les droites $D$ et $\Delta$ d'équations respectives :

\[\left\{\begin{array}{l l c l}
D :&\quad3x + 2y &=& 2\\
\Delta :&\quad x - y &=& 4
\end{array}\right.\]

Retrouver graphiquement le résultat du 1.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip


Soient les réels suivants :

\[A = \sqrt 3 + 2\qquad ;\qquad B = \sqrt 3 - 2.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $A^2, \:B^2, \: A \times B$.
\item Démontrer que $\dfrac AB + \dfrac BA$ est un nombre rationnel.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un triangle (ABC) rectangle en A et non isocèle, on désigne par M le milieu du segment [BC] et par H la projection orthogonale de A sur (BC).

Le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AM], coupe la droite (AB) en N el la droite (AC) en P.

On notera O le centre du cercle $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point H appartient au cercle $\mathcal{C}$.
\item Démontrer que N et P sont les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
\item Quelle est la nature du quadrilatère (ANMP), en déduire que la droite (NP) passe par O.
\item On suppose que AC = MC $= a$ : 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une nouvelle figure.
		\item Déterminer en fonction de $a$ les distances BC, AB.
		\item Donner la mesure des angles $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{ACB}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}