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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1986}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants :

\[\dfrac74  - \dfrac34 + \dfrac23 = \]

\[\dfrac32 \times \left(\dfrac16 + \dfrac{5}{12}\right) = \]

\[- 5 \sqrt{27} + 6\sqrt 3 = \]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Entourer la (ou les) valeur(s) du réel $x$ telle(s) que chacune des égalités suivantes soit vraie :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{3cm}|}\hline
$\textcircled{1}\: 2x = 0$&$-2$&$\dfrac12$&0&Autre cas (préciser):\\ \hline
$\textcircled{2}\: x(x - 1) = x(x - 2)$&0&1&2&Autre cas (préciser):\\ \hline
$\textcircled{3}\: 2|x| + 1 = 0$&$\dfrac12$&0&$-\dfrac12$&Autre cas (préciser):\\ \hline
$\textcircled{4}\: \left( \right)^2 - 25 = 0$&5&50&$- 10$&Autre cas (préciser):\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Représenter graphiquement les solutions de l'inéquation d'inconnue $x$ réel: 

\[4x - 2(x + 7)\geqslant x - 13.\]

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0]{->}(0,0)(-7,0)(8,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On pose 

\[A = 4x^2 - 9 - (2x - 3)(4x - 5),\]

$x$ étant un nombre réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré en $x$.
\item Résoudre l'équation d'inconnue $x$ réel : $A = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Ce graphique représente les mouvements des trains qui circulent sur la ligne Paris-Amiens pendant une période donnée. (Voir graphique ci-dessous).

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.05cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-5)(15,150)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(15,150)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline(\n,-2)(\n,2)}
\multido{\n=0+6,\na=13+1}{3}{\uput[d](\n,0){\na h}}
\psline[linewidth=1.25pt](6,0)(13,130) \rput{39}(2,30){Omnibus}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(4,50)(4.6,50)(6,65)(6.5,65)(8,80)(8.5,80)(12.5,122)(13,122)(13.5,126)(14,126)(14.5,130)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,130)(3,95)(3.5,95)(5,80)(5.5,80)(11,0)
\rput{-49}(2,105){Express 1}\rput{-53}(7.5,110){Express 2}\rput{51}(10.5,92){Express 3}
\psline[linewidth=1.25pt](6,130)(10,50)(10.5,50)(13.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,130)(14.5,130)
\psline[linestyle=dashed](0,126)(14,126)(14,0)
\psline[linestyle=dashed](0,122)(13,122)(13,0)
\psline[linestyle=dashed](12.5,122)(12.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,80)(8,80)(8,0)
\psline[linestyle=dashed](8.5,80)(8.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,65)(6,65)(6,0)
\psline[linestyle=dashed](6.5,65)(6.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,50)(4,50)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](4.5,50)(4.5,0)
\psline[linestyle=dashed](13.5,126)(13.5,0)
\uput[l](0,0){\footnotesize Paris 0}
\uput[l](0,50){\footnotesize Creil 50}
\uput[l](0,65){\footnotesize Clermont 65}
\uput[l](0,80){\footnotesize St-Just 80}
\uput[l](0,95){\footnotesize Breteuil 95}
\uput[l](0,122){\footnotesize Boves 122}
\uput[l](0,126){\footnotesize Longueau 126}
\uput[l](0,130){\footnotesize Amiens 130}
\uput[r](0,146){km}
\end{pspicture}
\end{center}


Répondre, en s'aidant de la lecture du graphique, aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Monsieur Durand, qui habite Saint-Just, veut se rendre à Amiens.
	\begin{enumerate}
		\item Quel train doit-il prendre?
		\item A quelle heure doit-il être à la gare de Saint-Just?
	\end{enumerate}	
\item À quelle vitesse roule l'express 3 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\bigskip

Tracer la figure :

On donne un segment [AB] mesurant 12 cm.

Sur [AB] placer les points I, C, O tels que AI $= 2$ cm,
AC $= 4$~cm, AO $= 6~$cm.

Tracer le cercle $\left(\mathcal{C}_1\right)$ de diamètre [AB]. Tracer le cercle 
$\left(\mathcal{C}_2\right)$ de diamètre [AC].

Sur $\left(\mathcal{C}_1\right)$ placer un point M tel que BM $= 7,2$ cm.

Tracer [AM] qui coupe à nouveau $\left(\mathcal{C}_2\right)$ en N.

Tracer [CN] et [BM].

Placer C$'$ symétrique de C par rapport à N.

Placer A$'$ symétrique de A par rapport à N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AM (on donne $\sqrt{92,16} = 9,6$).
\item Démontrer que les droites (CN) et (BM) sont parallèles.
\item Calculer la longueur AN.
\item Démontrer que ACA$'$C$'$ est un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

On donne la figure ci-dessous dans laquelle AOCB
est un carré et ODEF est un rectangle tels que OD = OA et OF = 2OA.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-4)(2.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-4)(2.5,2)
\psframe(0,0)(-1,-1)
\psframe(0,0)(2,1)
\psline(-4,-3)(2,1)\psline(-4,-3)(0.5,1.5)
\uput[ul](0,0){O} \uput[u](-1,0){A} \uput[d](-1,-1){B}
\uput[r](0,-1){C} \uput[ul](0,1){D} \uput[ul](2,1){E}
\uput[ur](2,0){F} \uput[d](1,0){I} \uput[ul](-4,-3){K}
\end{pspicture}
\end{center}

Le but du problème est de démontrer que les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes. 

Pour cela on considère le plan rapporté au repère $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OD}}\right)$, I étant le milieu de [OF].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées des points A, D, B, E, C, F ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation de la droite (AD) est : $x - y + 1 = 0$.
		\item Démontrer qu'une équation de la droite (BE) est : $-2x + 3y + 1 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire les coordonnées du point K, intersection des droites (AD) et (BE).
		\item Démontrer que les points K, C et F sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}