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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ Activités numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants. Les résultats seront donnés sous forme d'une fraction irréductible.

\[\dfrac23 + \dfrac27 \times \dfrac{14}{9}\:; \qquad \dfrac67 \times \left(\dfrac13 - \dfrac16 \right)\:; \qquad \dfrac{2}{\dfrac57}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Effectuer les calculs suivants. 

Les résultats seront donnés
sous la forme $a + b\sqrt 2$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. 

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{50} + 5\sqrt{18} - 10\sqrt 2 - 10$.
\item $\left(1 - \sqrt 2\right)\left(5\sqrt 2 + 3\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ désigne un nombre réel ; soit

\[A(x) = (3x + 1)^2 - (x - 6)^2\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A(x)$.
\item Écrire $A(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré en $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip 

Le napoléon est une pièce d'or française. On a relevé son prix de vente le premier de chaque mois pendant deux ans. Les résultats obtenus sont portés sur le graphique ci-dessous.

Par exemple, le 1\up{er} décembre 1982, le napoléon valait $700$~F{}.

%courbe cours du napoléon
\begin{center}
\psset{yunit=0.015cm,xunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-20)(26,450)
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,450)}
\multido{\n=0+25}{19}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Oy=450,Dy=25,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(26,450)
\psline[linewidth=1.25pt](0,275)(2,175)(4,152)(6,125)(8,175)(9,210)(10,195)(11,250)(12,225)(13,300)(14,240)(15,245)(16,235)(17,240)(18,230)(19,250)(21,225)(22,205)(23,245)
\uput[d](0,0){J}\uput[d](1,0){F} \uput[d](2,0){M} \uput[d](3,0){A} \uput[d](4,0){M} \uput[d](5,0){J} 
\uput[d](6,0){J} \uput[d](7,0){A} \uput[d](8,0){S} \uput[d](9,0){O} \uput[d](10,0){N} \uput[d](11,0){D} 
\uput[d](12,0){J}\uput[d](13,0){F} \uput[d](14,0){M} \uput[d](15,0){A} \uput[d](16,0){M} \uput[d](17,0){J}
\uput[d](18,0){J} \uput[d](19,0){A} \uput[d](20,0){S} \uput[d](21,0){O} \uput[d](22,0){N} \uput[d](23,0){D}
\uput[d](25,0){Mois}\uput[r](0,430){Francs}
\psline[ArrowInside=->,linestyle=dashed](11,0)(11,250)(0,250)
\uput[d](5.5,-25){1982}\uput[d](17.5,-25){1983}
\end{pspicture}
\end{center}

À partir du graphique, déterminer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel était le prix du napoléon le 1\up{er} octobre 1983 ?
\item À quelles dates le napoléon coûtait-il $625$~francs? 

Pendant quelle période le napoléon coûtait-il moins de $625$~francs?
\item À quelle date le prix du napoléon était-il maximum ? Quel était alors ce prix ?
\item Thierry a acheté $30$ napoléons le 1\up{er} janvier 1982. Il les a revendus le 1\up{er} octobre 1983. A-t-il gagné ou perdu de l'argent ? Combien ?
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{ Activités géométriques }

\medskip

Pour placer facilement les villes de France, on a tracé sur la carte un repère orthonormé d'origine Paris. (L'unité est le côté d'un carreau.) Par exemple, Tours a pour coordonnées $(-5~;~-6)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.3cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-20,-28)(20,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=100]{->}(0,0)(-20,-28)(20,11)
\pspolygon(0,11)(-6,4)(-12,5)(-11,-1)(-19,-1)(-10,-12)(-12,-24)(-1,-28)(3,-27)(4,-23)(10,-24)(16,-19)(11,-10)(17,1)
\psdots(0,0)(-2,8)(-5,-6)(0,-19)(14,-3)
\uput[dr](0,0){PARIS}\uput[l](-2,8){Boulogne}\uput[d](-5,-6){Tours}\uput[r](0,-19){Rodez}\uput[l](14,-3){Colmar}
\psline[linestyle=dashed,](-5,0)(-5,-6)(0,-6)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des villes suivantes: Boulogne; Rodez; Colmar.
\item Placer sur la carte les villes suivantes :

Quimper$(-18~;~-3)$ ; La Rochelle $(-10~;~-11)$ ; Cahors $(-3~;~-18)$ ; Clermont-Ferrand $(+2~;~-13)$ ; Saint-Étienne $(+6~;~-14)$ ; Nîmes
$(+6~;~-21)$.
\item Démontrer que Quimper, La Rochelle et Cahors sont sur une même droite dont on déterminera une équation. 

On désignera Quimper par Q, La Rochelle par L et Cahors par C.
\item Sachant que, à vol d'oiseau, Saint-Étienne est à mi-chemin entre Clermont-Ferrand et Grenoble, calculer le coordonnées de Grenoble. 

On désignera Saint-Étienne par S, Clermont-Ferrand par F et Grenoble par G.
\item Un avion fait le trajet de Nîmes à Clermont-Ferrand.

Calculer la distance parcourue ; on donnera la réponse en kilomètres. On rappelle que sur le dessin, une unité correspond à $25$~km; on pourra prendre $2,24$ comme valeur approchée de $\sqrt 5$ ; on désignera Nîmes par N et Clermont-Ferrand par F{}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

On n'oubliera pas d'énoncer correctement les théorème
utilisés.

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC, isocèle de sommet A, de hauteur [AD], tel que 

BC = AD $= 10$.

Justifier la construction.
\item Le cercle de diamètre [BC] recoupe [BA] en F et [CA] en E et coupe [AD] en I. 

Quelle est la nature des triangle BFC et BCE ? 

Démontrer que les droites (BE), (CF) et (AD) sont concourantes en un point H.
\item Justifier que AC $= 5\sqrt 5$. 

En exprimant de deux façons différentes l'aire du triangle ABC, démontrer que

\begin{center}AD $\times$ BC = BE $\times$ AC.\end{center}

En déduire la distance BE, puis calculer la distance EC.
\item Exprimer $\tan \widehat{\text{B}}$ dans les triangles BCE et BDH. 

Calculer alors la distance HD et démontrer que H est le milieu du segment [DI].
\end{enumerate}
\end{document}