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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
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\lfoot{\small juin 1990}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les trois exercices qui suivent sont indépendants.\\ Aucun résultat ne sera pris en compte s 'il n'est accompagné des calculs correspondants.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants (on donnera les résultats sous la forme d'un entier ou d'une fraction irréductible).

$\bullet~~$ $\dfrac32 - 5 = $

$\bullet~~$ $\dfrac{12}{13} \times \left(- \dfrac23\right)  =$

$\bullet~~$ $\left(3 - \sqrt 2\right)\left(3 + \sqrt 2\right) =$

$\bullet~~$ $\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{45}} = $

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une tente a la forme d'une pyramide régulière à base carrée ; le côté de la base mesure $6$~m, la hauteur de la tente $2,60$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le volume de la tente est 31,2 m$^3$.
\item La teneur normale de l'air en gaz carbonique est de 0,03\,\%
de son volume.

Quel est le volume de gaz carbonique contenu dans la tente ? On donnera le résultat en m$^3$ et en litres.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une usine teste des ampoules électriques en étudiant leur durée (en heures) sur un échantillon de \np{2000}~ampoules.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée de vie en heures $d$&Nombre d'ampoules\\ \hline
$300 \leqslant d < 500$&270\\ \hline
$500 \leqslant d < 700$&640\\ \hline
$700 \leqslant d < 900$&750\\ \hline
$900 \leqslant d < \np{1100}$&340\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le tableau par un histogramme. On prendra :

1 cm pour 100 heures ;

1 cm pour 100 ampoules.
\item Calculer la moyenne des durées de vie des ampoules (en heures).
On prendra pour valeur de $d$ le milieu de chaque classe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les exercices $1$ et $2$ sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous représente un triangle ABC rectangle en A tel que BC = 10 cm et AC = 3 cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,2.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(5.8,0.2)(5.2,1.8)%BCA
\psline(5.2,1.8)(5.2,0.2)%AH
\psframe(5.2,0.2)(5.4,0.4)
\uput[u](5.2,1.8){A} \uput[l](0.2,0.2){B} \uput[r](5.8,0.2){C} \uput[d](5.2,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer AB.
\item Calculer $\cos \widehat{\text{C}}$.

En déduire une mesure de $\widehat{\text{C}}$ à 1 degré près.

On pourra utiliser une calculatrice ou l'extrait de table ci-dessous

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle 	&700	& 710	& 72	&730 	&740\\ \hline
Cosinus	&0,342 	&0,326 	&0,309 	&0,292	&0,276\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Sachant que H est le projeté orthogonal de A sur [BC], calculer une valeur approchée de AH.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité choisie est le centimètre.

Dans un repère orthonormal \Oij, placer les points A$(- 3~;~5)$ et B$(3~;~8)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
\item Soit la droite ($\Delta$) d'équation $y = - 2x -1$.

Justifier qu'elle passe par A. La tracer. 
\item Démontrer que les droites (AB) et ($\Delta$) sont perpendiculaires.
\item La droite ($\Delta$) coupe la droite des abscisses au point C.

Calculer les coordonnées de C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 4 cm.

On appelle [AD] un de ses diamètres.

D'un côté de la droite(AD), tracer le triangle équilatéral ADG.

De l'autre côté de la droite (AD), placer le point B du cercle $\mathcal{C}$ tel que AB $= 4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$ et celle de l'angle $\widehat{\text{ADG}}$ ?

Justifier.

En déduire que les droites (DG) et (AB) sont parallèles.
\item La droite (BG) coupe le segment [AD] en I.

En justifiant l'utilisation de rapports égaux à $\dfrac{\text{IA}}{\text{ID}}$, établir que
$\dfrac{\text{IA}}{\text{ID}} = \dfrac12$.
\item On considère la rotation de centre O qui transforme A en B.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C image du point B par cette rotation. Justifier qu'il est sur le cercle $\mathcal{C}$.
		\item Démontrer que AB = BC = CD.
	\end{enumerate}	
\item On considère la symétrie d'axe (AD).
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points E et F images respectives de C et B par cette
symétrie. Justifier qu'ils sont sur le cercle $\mathcal{C}$.
		\item Comparer les distances DC, DE, EF et FA.
	\end{enumerate}	
\item Comment appelle-t-on le polygone ABCDEF ainsi obtenu ? 

Vous réaliserez ci-dessous la figure du problème :

\begin{center}
\psset{unit=0.22cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(36,36)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\end{pspicture}
\end{center}

Vous réaliserez ci-dessous l'histogramme de l'exercice 3 des activités numériques :

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(18,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\end{pspicture}
\end{center}

Vous réaliserez ci-dessous la figure de l'exercice 2 des activités géométriques :

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-9,-2)(9,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-9,-2)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{enumerate}
\end{document}