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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants (on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible) :
\begin{enumerate}
\item $\left(\dfrac47\right)^2 - \dfrac53 \times \dfrac{12}{7}$ ;
\item $\dfrac{\dfrac{8}{15}}{\dfrac{4}{9}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire $4\sqrt{18} + \sqrt{72} + \sqrt{50}$
sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ et $y$ étant des nombres, résoudre le système suivant:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{5}x - 3y&=& 7\\
5x + 2y&=& 1
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un commerçant calcule ses prix de vente en prenant un bénéfice de 30\,\% sur ses prix d'achat.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix de vente d'un article qu'il a acheté $175$~F ?
\item Quel est le prix d'achat d'un article qu'il a vendu $113,10$~F{}?
\item Le commerçant achète un article 145 F; en fin de saison, il le solde $159,50$~F{}.

Exprimer, en pourcentage, le bénéfice encore réalisé sur le prix d'achat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans cet exercice les résultats numériques seront approchés par un nombre entier à une unité près.
La figure ci-dessous représente un cône de révolution de sommet S, de hauteur 7,5 cm et dont la base est le cercle de centre O et de rayon 4 cm.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-3.9,-1.1)(3.9,8)
\psellipticarc(0,0)(3.9,1.1){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(3.9,1.1){0}{180}
\psline(-3.9,0)(0,7.6)(3.9,0)
\psline[linestyle=dashed](0,7.6)(0,0)(-2.4,-0.88)
\psline(-2.4,-0.88)(0,7.6)
\uput[r](0,0){O} \uput[dl](-2.4,-0.88){A} \uput[u](0,7.6){S}
\psline(0,0.2)(-0.2,0.13)(-0.2,-0.12)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item A est un point du cercle de base. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ASO}}$.
On pourra utiliser une calculatrice ou l'extrait de la table ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle &25° &26° &27° &28° &29° &30°\\ \hline
Cosinus &0,906 &0,899 &0,891 &0,883 &0,875 &0,866\\ \hline
Sinus &0,423 &0,438 &0,454 &0,469 &0,485 &0,500\\ \hline
Tangente& 0,466 &0,488 &0,510 &0,532 &0,554 &0,577\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer le volume du cône en cm$^3$.
\item On considère le point Idu segment [SO] tel que SI $= \dfrac34$SO.

On coupe le cône par le plan passant par I et parallèle à la base.

Calculer, en cm$^3$, le volume du petit cône ainsi obtenu.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un repère orthonormal, on considère les points A$(-1~;~1)$, B$(5~;~- 1)$ et C(4~;~6).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AB].
\item Le point D est le symétrique du point C par rapport à M.

Démontrer que D a pour coordonnées: D (0~;~- 6).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier par le calcul que les points A et B appartiennent à la droite d'équation : $y = - \dfrac13 +  \dfrac23$.
		\item Déterminer l'équation de la droite (CD).
		\item En déduire que (AB) est perpendiculaire à (CD).
	\end{enumerate}	
\item Justifier que le quadrilatère ACBD est un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

L'unité utilisée est le centimètre.

On considère un triangle ABC, rectangle en A, tel que AC $= 6$ et AB $= 8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance BC.
\item Tracer les bissectrices des angles $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{BAC}}$.

Ces bissectrices se coupent en un point I.

Démontrer que les angles $\widehat{\text{ACI}}$ et $\widehat{\text{BCI}}$ sont égaux.
\item Tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point I.

Cette perpendiculaire coupe le segment [AB] en D et le segment [BC] en E.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (DE) et (AC) sont parallèles.
		\item En déduire que $\widehat{\text{ACI}} = \widehat{\text{CIE}}$, puisque: IE = EC.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer que DAI est un triangle rectangle isocèle.
\item Démontrer que DE = DA + EC.
\end{enumerate}
\end{document}