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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1993}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les valeurs exactes des nombres suivants: (chaque résultat sera donné sous la forme la plus simple possible).

\renewcommand\arraystretch{2}
\[
\begin{array}{l l}
A = - \dfrac79 + 2&B = - \dfrac13 : \dfrac47\\ 
C = \left(\sqrt{10} - 2\right)\left(\sqrt{10} + 2\right)&D = \sqrt{200} - 3\sqrt{2} - 4\sqrt{18}
\end{array}
\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne: $E = (x - 4)^2 +(x - 4)(x + 8)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(x - 4)(2x + 4) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.8,2.6)
\psframe(0,0)(4.1,2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,2.3)(4.1,2.3)\uput[u](2.05,2.3){80 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.4,0)(4.4,2)\uput[r](4.4,1){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

Ce rectangle représente un pré de $80$~m de longueur.

Le cultivateur doit encore décider de sa largeur $x$.

Il souhaite que le périmètre de ce pré soit inférieur à $240$~m.

En même temps, il voudrait que son aire soit supérieure à \np{3000}~m$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire ces informations par deux inéquations.
\item Résoudre ces inéquations et donner les valeurs possibles de la
largeur $x$ du pré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Lors des Jeux Olympiques de Barcelone $812$~médailles ont été distribuées aux représentants de $63$~pays.

La France en a obtenu $29$, une de moins que la Hongrie. 

Le nombre de médailles gagnées par les USA est le double du nombre de médailles gagnées par la Chine.

La CEI a remporté autant de médailles que l'Allemagne et la Chine réunies.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, représentant les palmarès de quelques pays.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&CEI& USA 	&Allemagne 	&Chine 	&Hongrie& France\\ \hline
Nombre de médailles	&	&		&82			&54		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quel pourcentage des $812$ médailles le palmarès français représente-t-il ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.2,4)
\psframe(0.2,0.2)(5.2,2.2)%DCBA
\psline(5.2,0.2)(5.7,1.2)(5.7,3.2)(5.2,2.2)%CGFB
\psline(5.7,3.2)(0.7,3.2)(0.2,2.2)(5.2,0.2)%FEAC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.7,1.2)(5.7,1.2)%DHG
\psline[linestyle=dashed](0.7,1.2)(0.7,3.2)%HE
\uput[l](0.2,2.2){A} \uput[ul](5.2,2.2){B} \uput[dr](5.2,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](0.7,3.2){E} \uput[u](5.7,3.2){F} \uput[r](5.7,1.2){G} \uput[dr](0.7,1.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}

ABCDEFGH est un pavé droit tel que:

$\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$, \quad  BC $= 4$ cm, \quad  CF $= 6$~cm.

On prendra :  $\sin 30\degres = 0,50\quad \cos 30\degres = 0,87\quad \tan 30\degres = 0,58$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AC.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le triangle rectangle BFC en vraie grandeur.
		\item Calculer BF (on arrondira à $0,1$ cm près).
	\end{enumerate}	
\item On note I le milieu du segment [CF] et J le centre du rectangle
ABFE.
\end{enumerate}

Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure de cet exercice est à compléter sur la feuille annexe (à
rendre avec la copie). 

ABCD et CDEF sont deux carrés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point G image de E par la translation de vecteur $\vect{\text{FD}}$.
\item Recopier et compléter (sans justifier) :

$\vect{\text{CF}} + \vect{\text{FB}} = \ldots$

$\vect{\text{BD}} + \vect{\text{BC}} = \ldots$
\item La droite (OE) coupe le segment [AB] en M et le segment [CD] en L.

Expliquer pourquoi les angles $\widehat{\text{AMO}}$ et $\widehat{\text{CLO}}$ sont égaux.
\item Construire le point I image de E par la rotation de centre O qui transforme D en A.

Quelle propriété permet de conclure que les distances DE et AI sont égales ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.4,4)
\psframe(0.1,0.2)(3.1,3.2)%BCDA
\psline(3.1,0.2)(6.1,0.2)(6.1,3.2)(3.1,3.2)%CFED
\psline(0.1,0.2)(3.1,3.2)%BD
\psline(0.1,3.2)(3.1,0.2)%AC
\uput[ul](0.1,3.2){A} \uput[dl](0.1,0.2){B} \uput[d](3.1,0.2){C} \uput[u](3.1,3.2){D}
\uput[ur](6.1,3.2){E} \uput[dr](6.1,0.2){F}\uput[d](1.6,1.7){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\emph{La figure du problème est à compléter sur la feuille annexe}

\medskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

Le  triangle ABC est rectangle en A. De plus on a AB $= 6$~cm et AC $= 8$~cm. 

E est un point du segment [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite perpendiculaire à la droite (AC) passant par E. 

Elle coupe le segment [BC] en F.

Tracer le cercle de diamètre [AF]. Il recoupe le segment [AB] en G.
\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{AGF}}$ est droit.

En déduire que AGFE est un rectangle. 
\item On pose CE $= x$ (en centimètres)
	\begin{enumerate}
		\item Calculer EF en fonction de $x$.
		\item Montrer que l'aire de AFC est $3x$.
		\item Calculer l'aire de AFB en fonction de $x$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ les deux triangles AFC et AFB ont-ils la même aire ?
		
Quelle est cette aire ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la feuille annexe, représenter graphiquement les fonctions affines $f$ et $g$ définies par :
		
\[f(x) = 3x, \qquad g(x)= -3x + 24\]

\item Comment peut-on retrouver sur le graphique les réponses de la question d. du I. ci-dessus ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(11,28)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\multido{\n=0.5+1.0}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,28)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=12,Dy=30]{->}(0,0)(0,0)(11,28)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} 
\end{pspicture}
\end{center}



\end{document}