\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B. E. P{}. C.},
pdftitle = {Lille octobre 1957},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Après avoir simplifié les fractions rationnelles suivantes :

\[A = \dfrac{4x^2 - 9}{4x^2 + 12x + 9}, \qquad B = \dfrac{6x - 2x^2}{4x^2 + 6x}.\]

calculer $A + B.$
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'expression 
\[z = \dfrac{x}{2x +  3}\]
est-elle nulle ? 

est-elle égale à 1 ?

Calculer la valeur de $z$ pour $x = \sqrt 3 - 1$ et rendre rationnel le dénominateur.
\item Représenter sur le même graphique les variations des fonctions 
\begin{center}$y = x$ \qquad et\qquad  $y = 2x + 3$ \end{center}
en expliquant les constructions.

Peut-on retrouver sur graphique certains résultats du 2. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$ et deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le cercle en un deuxième point, N, appartenant à l'arc $\widearc{\text{CB}}$ et le diamètre [CD] en un point M entre O et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère OMNB est inscriptible dans un cercle de centre O$'$.

Préciser la position de O$'$.

Si le point N décrit le quart de cercle $\widearc{\text{CB}}$, montrer que O$'$ reste équidistant de deux points fixes.

En déduire le lieu géométrique de O$'$.
\item Comparer les triangles AOM et ANB.

En déduire la valeur du produit AM $\cdot$ AN en fonction de $R$.
\item La tangente de l'angle $\widehat{\text{OAM}}$ étant égale à $\dfrac34$, calculer OM en fonction de $R$.

Calculer AM et, en utilisant la question 2., calculer AN et NB.
\end{enumerate}
\end{document}