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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier la fraction rationnelle 
\[A= \dfrac{4x^2 - 9}{4x^2 + 12x + 9}.\]

\item La fraction $A'$ obtenue peut-elle être égale à 1 ?

Justifier la réponse sans calculs.

Que se passe-t-il quand x prend la valeur $- \dfrac32$ ?
\item Trouver la valeur numérique de $A'$ pour $x = \sqrt 3$ ; donner le résultat sous forme de fraction dont le dénominateur est rationnel.
\item Pour quelle valeur de $x$ la nouvelle fraction, $A'$, prend-elle la valeur numérique $2$ ?
\item Étudier les variations du numérateur et du dénominateur en fonction de $x$.

Droites représentatives.

Quelle particularité présentent-elles ?

Comparer les distances de l'origine à chacune d'elles.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un segment [AB] de longueur $35$~mm et le point H de la droite (AB), non compris entre A et B, tel que
\[\dfrac{\text{HA}}{\text{HB}} = 2,4.\]

On trace le cercle $\mathcal{C}$ ayant [AB] pour diamètre et l'on mène par H la perpendiculaire $D$ à la droite (AH).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer HA et HB et faire une figure précise.
\item Soit M un point de la droite $D$. Le segment de droite [AM] coupe le cercle $\mathcal{C}$ en C.

Montrer que le quadrilatère CBHM est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre I.

Prouver que 
\begin{center}AC $\cdot$ AM = AB $\cdot$ AH.\end{center}
\item On suppose que HM $= 45$~mm. Calculer CA et CB.
\item A, B, H restant fixes, M décrit la droite $D$ ; montrer que I se déplace sur une droite fixe, $D'$.

{\blue Réciproquement}, si I est un point quelconque de $D'$ non situé sur (BH), le cercle qui a pour centre I et pour rayon IB coupe $D$ en un point M, distinct de H, et le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] en un point C, distinct de B ; prouver que M,\: C,\: A sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}