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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'identité 
\[(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab.\]
\item À l'aide de l'identité précédente, calculer deux nombres, connaissant leur somme, 17, et leur produit, 60.
\item Simplifier la fraction
\[\dfrac{(5x-3)(2x - 1) - (6x - 3)(x + 2)}{(2x +~1)^2 - 8x}.\]
\item Résoudre l'équation
\[(5x - 3)(2x - 1) - (6x - 3)(x + 2) = 1,25 \left[(2x + 1)^2 - 8x\right].\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC inscrit dans une cercle de centre O.

La bissectrice (intérieure) de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ coupe le côté [BC] en D et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la position du point M.
\item On trace [MC].

Trouver dans la figure deux triangles semblables au triangle DMC.

Établir la relation :
\begin{center}MC$^2$ = MD $\cdot$ MA.\end{center}
\item On suppose que le rayon du cercle mesure $6$~cm, que la corde [BC] est à une distance du centre O égale à $2$~cm et que MA $= 10$~cm.

Calculer à 1/10 mm près les longueurs MC et AD.

Construire géométriquement le triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{document}