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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Que dire des nombres $A$ et $B$ si $A^2 + B^2 = 0$ ?
\item Trouver $x$ et $y$ de façon que

\[(x + y - 1)^2 + (x - y+ 1)^2 = 0. \]

\item Vérifier l'identité

\[2\left[x^2 + (y - 1)^2\right] = (x  +y - 1)^2 + (x - y + 1)^2.\]
\item Peut-on ainsi retrouver rapidement le résultat du 2. ?

\item Calculer $(x + y - 1)^2 + (x - y + 1)^2$ pour

\begin{center}$x = \sqrt{53}$\qquad et\qquad  $y = \sqrt{47} + 1$. \end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, une corde [AB], de milieu I, et M un point de ce cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le cercle (justifier la construction) passant par A et M et tangent en A à (AB).

La droite (IM) coupe ce cercle $\mathcal{C}$  en C et M.

Comparer les triangles AIC et MIA.

En déduire une relation entre les longueurs  IA, IC, IM.
\item Comparer les triangles IBC et IMB.
\item La droite (MC) coupe le cercle $\mathcal{C}$ en D.

Montrer que (AD) et (BC) sont parallèles.

Nature du quadrilatère ADBC.

Sur quelle ligne fixe se déplace le point C quand M décrit le cercle $\mathcal{C}$ ?

La construire.
\end{enumerate}
\end{document}