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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

Soit $f$ et $g$ deux fonctions polynômes définies dans $\R$ respectivement par : 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 9x^2 - 1\\
g(x) &=&(9x - 3) - 9x^2 + 6x - 1
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ puis $g(x)$ sous la forme d'un produit de deux fonctions polynômes du premier degré.
\item Démontrer que la fonction $h$ de $\R$ dans $\R$ définie par : 
\[q(x) = f(x) - g(x)\]

est une fonction polynôme de degré 2.

Factoriser cette expression.
\item Soit la fonction rationnelle $q$ de  $\R$ dans  $\R$ définie par : 
\[q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x).}\]

Déterminer l'ensemble de définition (ou existentiel) $\mathcal{D}_q$ de cette fonction.

Dans l'ensemble $\mathcal{D}_q$, simplifier $q(x)$.
\item Déterminer les nombres réels $f\left(- \dfrac{15}{2}\right)$ et $g\left(\sqrt 3\right)$.
\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, déterminer un encadrement, à $10^{-1}$ près, du réel $g\left(\sqrt 3\right)$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij,on considère les points
\begin{center}A$(- 3~;~6)$, \quad B$(- 3~;~- 5)$,\quad  C(9~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB, AC et BC.

On note AB $= d$(A, B).
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC].
\item Soit G le point du plan tel que $\vect{\text{AG}} = \dfrac23 \vect{\text{AM}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées du point G sont (+ 1 , + ~).
		\item Démontrer que $\vect{\text{AG}} = 2 \vect{\text{GM}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit D le symétrique de G dans la symétrie de centre M.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que (B, G, C, D) est un parallélogramme. 
		\item Calculer les coordonnées du point D.
		\item Démontrer que D est le symétrique de A dans la symétrie de centre G.
	\end{enumerate}
\item E étant le milieu du segment [AB], calculer ses coordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points C, G, E sont alignés. 
		\item Comment appelle-t-on le point G?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}