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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille septembre 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les produits
\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& (2x + 1) (x - 3),\\
B(x)& =& (2x + 1) (3x - 2).
\end{array}\]
\item Utiliser ces calculs pour simplifier la fraction rationnelle

\[F(x) = \dfrac{2x^2 - 5x - 3}{6x^2 - x - 2}.\]

\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction obtenue, $F'(x)$, n'est-elle pas égale à la fraction donnée ?
\item Calculer $x$ pour que $F'(x) = 5$.
\item Valeur numérique de $F'(x)$ pour $x = \sqrt 3$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un segment [AB], de longueur $a$.

En A et B on élève les perpendiculaires A$x$ et B$y$ à [AB], du même côté de [AB].

Sur A$x$ on porte la longueur AM $= \dfrac{3a}{2}$ et, sur A$y$, la longueur BN $= \dfrac{2a}{3}$.

(AN) et (BM) se coupent en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AMB et BAN sont semblables.

En déduire que (AN) et (BM) sont perpendiculaires en C.
\item Soient D et E les milieux de [AM] et [BN].

Montrer que D, C, E sont alignés et que (DE) est tangente au cercle de diamètre [AB].
\item Calculer en fonction de $a$ les longueurs MN, AC, CN, MC.
\end{enumerate}
\end{document}