\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Lille septembre 1970},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1970}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille septembre 1970\footnote{Amiens}~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit $P(x) = 3x - 5x^2 - 3x^3 + 5.$


\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $P(x)$ en un produit de polynômes du premier degré.

Vérifier l'exactitude du résultat obtenu, en calculant
les valeurs numériques de $P(x)$ et du produit trouvé 
pour $x = 0$, puis pour $x = \sqrt 2$.
\item On pose

.
\[F(x) = \dfrac{P(x)}{2 - 2x^2}.\]

Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)$ n'est pas définie.

Simplifier F(x); on obtient une expression algébrique $f(x)$.
\item Étudier la variation de la fonction $y = f(x)$, pour $x$ variant de $- \infty$ à $+
\infty$ 

Tracer la ligne ($\mathcal{L}$) qui représente les variations de cette fonction.
\item Soit A le point de ($\mathcal{L}$) qui a pour ordonnée $- 4$.

Lire une valeur approchée, à 0,1 près, de son abscisse ; calculer ensuite la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) =- 4$.
\item Résoudre le système d'inéquations 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &< &0,\\
f(x) &>& -4.
\end{array}\right.\]

Vérifier sur le graphique les résultats obtenus.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un demi-cercle $(\mathcal{C})$ de centre O, de rayon $R$, limité par le diamètre [AB].

Soit M un point quelconque de $(\mathcal{C})$ ; la tangente en M à $(\mathcal{C})$ coupe respectivement en E et en F les tangentes à $(\mathcal{C})$ en A et en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles OAE et OBF ; en déduire la valeur du produit AE $\times$ BF en fonction de $R$.
\item Soit H la projection orthogonale de M sur AB.

 AE ME
Comparer les rapports $\dfrac{\text{HA}}{\text{HB}}$ et $\dfrac{\text{AE}}{\text{BF}}$  au rapport $\dfrac{\text{ME}}{\text{MF}}$.

En déduire que les triangles AHE et BHF sont semblables et que HM est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{EHF}}$.
\item La droite (ME) coupe, en général, la droite (AB) en P.

Pour quelle position de M cela ne se produit-il pas ?

Dans la suite, on supposera que M n'est pas en ce point.

Démontrer que les points M et P partagent le segment
 [EF] dans le rapport $\dfrac{\text{HA}}{\text{HB}}$.
\item Dans le cas particulier où l'angle $\widehat{\text{AOM}}$ est égal à $45\degres$,
 calculer OH, PA et $\dfrac{\text{HA}}{\text{HB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}