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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les applications affines $f$ et $g$ de $\R$ vers $\R$ définies par 
\begin{center}$f(x) = -2x + 5$\quad  et\quad  $g(x) = 3 x - 5$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g (x)$.
\item Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ dans un
repère \Oij.

Retrouver graphiquement la réponse à la première question.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit la fonction rationnelle $F$ de $\R$ vers $\R$
\[x \longmapsto F(x) = \dfrac{x^2 + 4x}{x^2 - 2x} - \dfrac{x^2 + 2x}{x^3 - 4x}.\]

\begin{enumerate}
\item Quel est son domaine de définition? 
\item Simplifier l'expression de $F(x)$.
\item Résoudre successivement dans $\R$ chacune des deux équations 
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = 0$
		\item $F(x) = - \dfrac14$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $F\left(\sqrt 2\right)$.
	
Donner le résultat sous la forme d'un quotient ayant un dénominateur entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Le plan euclidien étant rapporté à un repère orthonormé \Oij, on construit les points
\begin{center}A(3~;~0),\quad B(0~;~4)\quad  et \quad C(7~;~3).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

En déduire  la nature du triangle (A, B, C).
\item Soit I le milieu du segment [BC].

Démontrer que les droites (AI) et (BC) sont orthogonales.
\item Soit D le symétrique de A par rapport à I.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, D, C) ?

Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AD}}$.
\item Soit E le point du plan défini par
\[\vect{\text{IE}} = \vect{\text{IA}} + 2\vect{\text{IC}}.\]

Construire Je point E et expliquer la construction.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, E) ?

Calculer les coordonnées de E.
\end{enumerate}
\end{document}