\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Lille septembre 1976},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1976}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille septembre 1976~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $A, B$ et $C$ définies dans $\R$ par

\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&7x^2- 28,\\
B(x)&=&3x^2 - 12x + 12,\\
C(x)& =&(x - 2)(x + 5)x - (2 - x)(4x + 20).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x), B(x)$ et $C(x)$ sous forme de produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $A(x) - B(x) \geqslant 0$.
\item Soit la fonction rationnelle $F$ de $\R$ dans $R$ définie par 
\[F(x) = \dfrac{B(x)}{A(x)}.\]

Déterminer son domaine de définition $\mathcal{D}$ puis la simplifier dans son domaine.

Résoudre dans $\mathcal{D}$ les équations suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
F(x) &=& 0,\\
F(x) &=& 1,\\
F(x) &=& \dfrac 37
\end{array}\]

Quelle est l'image par $F$ de $\sqrt 7$ ?
\item Soit la fonction rationnelle $H$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[H(x) = \dfrac{C(x)}{A(x) - B(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est son domaine de définition ? 
		\item Simplifier $H(x)$ dans son domaine.
		\item Dans le plan affine rapporté à un repère \Oij{} tracer la représentation graphique de la fonction $H$.
		\item On donne les points M et N de coordonnées respectives :
\begin{center}M$\left(2~;~\dfrac32\right)$\qquad et \qquad N$\left(- 5~;~- \dfrac14\right)$\end{center}

Former une équation de la droite (MN).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, 
placer les points A, B et C tels que 
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -3\vect{\imath} -\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = \vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$, \quad et \quad $\vect{\text{OC}} = 7\vect{\imath} -3\vect{\jmath}$.\end{center}

\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$.

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Le triangle (A, B, C) est inscriptible dans un cercle $(\mathcal{C})$ de centre M.

Calculer les coordonnées de M ainsi que le rayon du cercle $(\mathcal{C})$.

Calculer la tangente de l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.

En déduire la valeur approchée à une unité près par défaut de cet écart angulaire.
\item La droite (BM) recoupe le cercle $(\mathcal{C})$ en un point D.

Quelles sont les coordonnées de D ?

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Calculer les coordonnées des points E et F tels que 
\begin{center}$\vect{\text{AE}} = \dfrac32 \vect{\text{AB}}$ \quad et \quad $\vect{\text{FC}} = 3\vect{\text{FD}}$.\end{center}

Montrer que M est le milieu de [EF].

Que peut-on en déduire pour les droites (EC) et (AF) ?
\end{enumerate}
\end{document}