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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = 9(x - 3)2 - (x - 2)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) =0$.
\item Montrer que $f$ n'est pas une bijection.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit la fonction rationnelle $F$ définie par 
\[F(X) = \dfrac{3 x + 2}{x + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $F(0)$. 

Mettre $F\left(\sqrt 2\right)$ sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est un nombre entier.
\item Résoudre dans $\R$ les équations
\[F(x) = 0 \quad ; \quad F(x) =3.\] 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit la fonction affine $A$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[A(x) = 5 - 3x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A\left(\sqrt 3\right)$.

Sachant que $1,732 <\sqrt 3< 1,733$, donner de $A\left(\sqrt 3\right)$ un encadrement à $10^{-2}$ près.
\item Résoudre dans $\R$, l'équation : $|A(x)| = 3$.
\item Représenter graphiquement $A$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les
points suivants :
\begin{center}A$(1~;~-1)$\:;\quad B(3~;~1)\:;\quad C$(- 2~;~2)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Calculer les coordonnées de D, symétrique de B par rapport à A.
\item Calculer les coordonnées de E, image de A par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.
\item Montrer que (B, C, D, E) est un losange.
\item Soit F l'image de A dans la symétrie orthogonale d'axe (BC).

Montrer que les points A, B, F{}, C appartiennent à un même cercle, dont on calculera les coordonnées du centre et le rayon.
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.

Déterminer $\tan  \alpha$.

En déduire $\alpha$ à 1 degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}