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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soient les applications

$f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par:
\begin{center}$f(x)= 4x2 -4x + 1$\quad et \quad $g(x) = (2x + 1)^2 - 4$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
		\item Montrer que $f(x) - g(x)$ est un polynôme du premier degré.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation: 
\begin{center}$f(x) - g(x) = 12$\quad puis \quad $|f(x) - g(x)| = 12$.\end{center}
	\end{enumerate}	
\item On considère la fonction rationnelle $h$ définie dans $\R$ par :
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ l'équation $h(x) = 0$ puis l'équation $h(x) = 2$.
		\item Montrer que $h\left(-\sqrt 2\right)$ s'écrit sous la forme $a + b\sqrt 2$,\: $a$ et $b$ étant deux entiers relatifs que l'on calculera.
		
Sachant que $1,414< \sqrt 2 < 1,415$, donner un encadrement de $h\left(-\sqrt 2\right)$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Une unité de longueur étant choisie dans le plan euclidien, un triangle (O, A, B) est tel que:

\begin{center}OA = 5\qquad  OB $= 5\sqrt 3$\qquad AB $= 10$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (O, A, B) est un triangle rectangle en O.
\item $e\left(\widehat{\text{OAB}}\right)$ désigne l'écart angulaire en radians de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$. 

Calculer $\cos e\left(\widehat{\text{OAB}}\right)$.

Calculer $e\left(\widehat{\text{OAB}}\right)$, $e\left(\widehat{\text{OBA}}\right)$, $e\left(\widehat{\text{AOB}}\right)$.
\item On choisit le repère orthonormé \Oij{} tel que:

\[\vect{\text{OB}} = 5 \sqrt 3 \vect{\imath}, \qquad \vect{\text{OA}} = 5\vect{\jmath}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB).
		\item Déterminer une équation de la hauteur (OH) du triangle (O , A, B).
	\end{enumerate}
\item En déduire les coordonnées du point H.
\item Calculer la distance OH. 

Calculer les distances HB et AH.
\end{enumerate}
\end{document}