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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small septembre 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

Soit $f$ et $g$ les applications, de $\R$ dans $\R$, définies
par

\begin{center}$f(x)=3x + 5$\quad et \quad $g(x)= 1- x^2$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $(g \circ f)(x)$ sous forme développée et sous forme factorisée.
\item Calculer $(g \circ f)(-1)$
et $(g \circ  f)\left(- \dfrac73\right)$.

$g \circ  f$ est-elle une bijection de $\R$ dans $\R$ ?
\item Soit l'application $h$, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[h(x) = x^2 + 4x + 4 - (2 + x)(1 - x) + 4 - x^2.\]

Écrire $h(x)$ sous forme développée et sous forme factorisée.
\item Soit la fonction rationnelle $q$ définie par
\[q(x) = \dfrac{(3x + 6)(-3x - 4)}{h(x)}.\]

Déterminer le domaine de définition de $q$.

Simplifier $q(x)$.
\item Calculer $q(- 1),\: q\left(\sqrt 3\right)$ ; sachant que
\[1,732 < \sqrt 3 < 1,733\]
en déduire un encadrement de $q\left(\sqrt 3\right)$ à $10^{-1}$ près.
\item Résoudre les équations 
\begin{center}$q(x) = 1$ \quad et \quad $q(x) = - 9$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points
\begin{center}A$(- 2~;~- 1)$,\qquad B$(-1~;~1)$,\qquad I(1~;~0).\end{center}

(on prendra 2 cm comme unité).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de C tel que (A, B, C, I) soit un parallélogramme.
\item Soit D le symétrique de A par rapport à I. Calculer les coordonnées de D.
\item Déterminer une équation de la droite (AB) et une équation de la droite (CD) et démontrer que ces deux droites sont perpendiculaires.

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection E.
\item Montrer que C est milieu de [EO] et que B est milieu de [AE].

En déduire que (B, E, C, I) est un parallélogramme.
\item Calculer $d$(C, E) et $d$(C, I).

Montrer que (B, E, C, I) est un carré.
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle $\widehat{\text{EBD}}$.

Calculer $\tan \alpha$.

À l'aide d'une table trigonométrique, en déduire la valeur de $\alpha$ à un degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}