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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $m$ est l'application polynôme définie, dans $\R$ par 

\[m(x) = \left(1 - 4x^2\right)(x - 5) + (2x + 1)\left(25 - x^2\right)
+ (2x + 1)(10 - 2x).\]

Écrire $m(x)$ sous forme d'un produit de fonctions polynômes du premier degré.
\item Soit $g$ la fonction rationnelle définie, dans $\R$, par 
\[g(x) = \dfrac{m(x)}{(x - 5)(x + 2)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{E}$ de $g$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ élément de $\mathcal{E}$,
\[g(x) = - 6x - 3.\]
		\item Déterminer le réel solution de l'équation
\[g(x) = \sqrt 2.\]
		\item Sachant que $1,41 <\sqrt 2 < 1,42$ trouver un encadrement à $10^{-2}$ près de la solution trouvée.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des réels $x$ solutions de l'inéquation
\[-6x - 3 \geqslant 0.\]
		\item Représenter, graphiquement dans un repère orthonormé \Oij{} l'application
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R& \to & \R\\
&x &\longmapsto |- 6x - 3|.
\end{array}\]

		\item Représenter dans le même repère l'application 
\[\begin{array}{l l c l}
h :&\R &\to& \R\\
&x&\longmapsto& |-6x -3|.
\end{array}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\bigskip

(M, N, R) est un triangle rectangle en N tel que 

\begin{center}$d$(M, R) $= 4$ et $d$(N, R) $= 2$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(M, N).
\item $\mathcal{C}$ est le cercle circonscrit au triangle (M, N, R).

Préciser la position du centre O de $\mathcal{C}$.

Calculer le rayon $r$ du cercle $\mathcal{C}$.
\item H est la projection orthogonale du point O sur la
droite (MN), $\{\text{O}'\}$ est l'intersection de la droite (OH) et
de la tangente en M au cercle $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (OO$'$) est la médiatrice de [MN].
		\item Soit E le symétrique de M par rapport à O$'$. 
		
Préciser la position du centre du cercle $\Gamma$ circonscrit au triangle (M, N, E).
		\item Montrer que R, N et E sont alignés.
	\end{enumerate}		
\item Quelle est la nature du triangle (E, M, R) ? 

Calculer $d$(E, R) et $d$(E, M). 

En déduire le rayon du cercle $\Gamma$.
\item Soit B l'image de E par la translation du vecteur $\vect{\text{MR}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le quadruplet (E, B, R, M) est un rectangle.
		\item Que représente la droite (BE) pour le cercle $\Gamma$ ; que représente la droite (BR) pour le cercle $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}