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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants :

$\dfrac23 - \dfrac54 + \dfrac38 =$

$\dfrac12 \times \left(- \dfrac23 + \dfrac54 \right) = $

$3\sqrt 8 - 4\sqrt{16} - 5 \sqrt 2 =$

$(1,2)^2 \times 5 - (2 \times 5,1 - 7) =$

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre l'équation d'inconnue $x$ réel:

\[(2x + 3) = 7(4x - 5)+ 12.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Représenter graphiquement les solutions de l'inéquation
d'inconnue $x$ réel :

\[- 7,5x + 4,2\leqslant  - 6,9x.\]

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-11,-0.5)(14,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,ticks=x,subticks=2](0,0)(-11,0)(14,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Les phrases suivantes, sont soit vraies, soit fausses. 

Barrer, en face de chacune d'elles, ce qui ne convient pas.

\medskip
\begin{tabular}{l l}
Si $|x| = 1$, alors $x = 1$ ou $x = -1$ :& vrai - faux\\
$2x^2 + 1$ n'est jamais nul :& vrai - faux\\
L'équation d'inconnue $x$ réel :&\\
$\dfrac{x - 1}{x - 2} = 1$ n'a pas de solutions :& vrai - faux\\
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

On pose $A= 1 - x^2 +(2x + 2)(3x - 4)$, $x$ étant un nombre réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ pour $x = 1$.
\item Écrire $A$ sous forme d'un produit de facteurs du premier
degré en $x$.
\item Résoudre l'équation d'inconnue $x$ réel : $A = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 6}

\medskip

 Placer, sur le graphique ci-dessous, les points M et N de la droite $(\Delta)$ tels que

\[\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}} = \dfrac{\text{NA}}{\text{NB}} = \dfrac12.\]

\begin{center}
\psset{unit=7mm}
\begin{pspicture}(-5,-0.5)(7,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-0)(7,0)
\multido{\n=-5+1}{13}{\psline(\n,-0.2)(\n,0.2)}
\uput[d](0,0){A}\uput[d](3,0){B}\uput[d](-5,0){$(\Delta)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

Tracé de la figure.

On donne un segment [BC] tel que BC $= 14$~cm.
\begin{itemize}
\item Construire un triangle ABC tel que BA $= 11,2$ cm et CA $= 8,4$ cm.
\item Noter D l'intersection de cette parallèle avec la droite (BA).
\item Placer sur [BC] le point M tel que BM $= 8$ cm.
\item Tracer la droite (AM).
\item Tracer la parallèle à (AM) passant par C.
\end{itemize}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A.
\item Calculer la longueur AD ; quelle est la nature du triangle CAD ?
\item Quelle est la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ADE}}$ ?
\item On considère la translation de vecteur $\vect{\text{DA}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de la droite (OC) par cette translation ?
		\item Quelle est l'image de la droite (DA) par cette translation ?
		\item En déduire que (AM) est bissectrice de $\widehat{\text{BAC}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij{} tel que

\[\|\vect{\imath}\| = \|\vect{\jmath}\| = 1~\text{cm}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(0~;~4),\: B(4~;~8),\: C(10~;~8),\: D(8~;~0).
\item Soit $P = $OA + AB + BC + CD + DO ($P$ est donc le périmètre du pentagone OABCD).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $P = 18 + 4\sqrt 2 + 2\sqrt{17}$.
		\item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$ et $4,123< \sqrt{17} < 4,124$, donner les valeurs approchées de $P$ à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\item Soient les points H(0~;~8) et K(10~;~0).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire du rectangle OHCK et l'aire de chacun des triangles ABH et CDK.
		\item En déduire l'aire, en cm$^2$, du pentagone OABCD.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $\Delta$ parallèle à (OA) qui partage le pentagone OABCD en deux figures de même aire.
		\item Donner une équation de $\Delta$.
	\end{enumerate}		
\item Le pentagone OABCD est en fait le plan à l'échelle $\dfrac{1}{\np{1000}}$ d'un terrain.
	\begin{enumerate}
		\item Donner un encadrement, en mètres, du périmètre réel du terrain.
		\item Quelle est l'aire réelle du terrain ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}