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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.}

\medskip

Dans un plan P rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C qui ont pour coordonnées respectives $(-2~;~4)$ , $(-4~;~2)$ et (2~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du milieu M du segment [BC].
\item Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item On considère la translation $t$ de vecteur $\vect{\text{AB}}$. 

Déterminer les coordonnées du point D tel que D $= t$(C).
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, D, C) ?

Démontrer que les points A, B, C, D appartiennent à un même cercle dont vous déterminerez le centre et le rayon et que vous construirez.
\item $v$ désignant l'écart angulaire exprimé en degrés de l'angle géométrique
$\widehat{\text{ABC}}$, déterminer tg$_{180} v$ (c'est-à-dire tg $v$).

Donner la valeur approchée de $v$ à 1 degré près par défaut.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II.} 

\medskip

On considère les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par :

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(3x - 2)^2 - (x + 3)^2\\
g(x) &=& (1 - x) (7x + 6) - (4 - 4x) (x + 1) - 1 + 2x - x^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item On considère la fonction rationnelle $q = \dfrac{f}{g}$.

Déterminer son domaine de définition et simplifier $q(x)$.
\item Soit $q'$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par

\[q'(x) = \dfrac{2x - 5}{1 - x}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer son domaine de définition.
		\item Calculer $q'\left(- \dfrac{2}{3}\right)$.
		\item Calculer $q'\left(\sqrt{2}\right)$ et l'écrire sous la forme la plus simple possible. 
		\item On rappelle que $1,414 < \sqrt{2} < 1,415$.
		
Donner un encadrement de $q'\left(\sqrt{2}\right)$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Tracer dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} les représentations graphiques des fonctions $h$ et $k$ de $\R$ dans $\R$ définies par :

\[h(x) = 2x - 5\quad  \text{et}\quad  k(x) = 1 - x.\]

Déterminer graphiquement les coordonnées de l'intersection de ces représentations graphiques.
\item Résoudre l'équation $q'(x) = 1$.

 Pouvait-on prévoir cette solution ?
\end{enumerate}
\end{document}