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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille  juin 1995~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Ecrire les nombres suivants sous forme d'une fraction (le détail doit apparaître sur la copie) :

\[A = \dfrac{7}{10}  - \dfrac25  \times \dfrac{15}{7} ; \qquad  ;
B  = \left(1 + \dfrac53\right)  : \left(\dfrac{-7}{9}\right )\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $\sqrt 5 \times  \sqrt{125}$ sous la forme d'un nombre entier.
\item Écrire $\left( 5 \times  \sqrt{125}\right) \times 2$ sous la forme $a \sqrt 5$ où $a$ est un entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $E = (2x - 1)(x + 8) + (x +8)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Écrire $E$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Chez un confiseur, une dame achète des chocolats au détail : 

\begin{itemize}
\item chaque chocolat blanc est vendu $2$ F et pèse $20$ g ;
\item chaque chocolat noir est vendu $3$ F et pèse $35$ g.
\end{itemize}

Cette dame paye 84 F pour $900$ g.

Déterminer le nombre de chocolats de chaque sorte.

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Lors des fêtes de fin d'année, un grand magasin fait une enquête sur la nature du cadeau le plus souvent offert aux enfants.

Pour cela, les enquêteurs interrogent les clients à la sortie du magasin. Les nombres de réponses obtenues ont été regroupées dans le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&JOUETS &LIVRES &AUTRES\\ \hline
Enquêteur A& 243& 158& 78 \\ \hline
Enquêteur B& 201 &187& 52\\ \hline
Enquêteur C& 190& 55& 36\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Combien de réponses l'enquêteur A a-t-il obtenues ?
\item On veut représenter l'ensemble des réponses obtenues par les trois enquêteurs à l'aide d'un diagramme ayant la forme d'un demi-disque de rayon 4 cm.

Pour préparer ce diagramme, reproduire et compléter le tableau suivant où les mesures des angles seront arrondies au degré :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&JOUETS &LIVRES 	&AUTRES\\ \hline
Effectifs 	&634	&			&\np{1200}\\ \hline
Angles		&		&$60\degres$&$180\degres$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dessiner le diagramme.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner un triangle ABC quelconque et placer un point M sur le segment [BC].
\item Placer le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{MA}}$.
\item Placer le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AM}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne : 

\begin{center}
AB = 4 cm ;\quad BC = 3 cm ;\quad BF = 6 cm.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,7.5)
\psframe(0.2,0.2)(4,5.9)%ABFE
\psline(4,0.2)(5,1.2)(5,6.9)(4,5.9)%BCGF
\psline(5,6.9)(1.2,6.9)(0.2,5.9)%GHE
\psline(0.2,0.2)(4,5.9)(5,1.2)%AFC
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,1.2)(5,1.2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.2)(1.2,6.9)%DH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](4,0.2){B} \uput[r](5,1.2){C} \uput[ur](1.2,1.2){D}
\uput[l](0.2,5.9){E} \uput[r](4,5.9){F} \uput[u](5,6.9){G} \uput[u](1.2,6.9){H}
\rput(2.75,-0.2){figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide FABC de base ABC et de hauteur [BF].
\item En utilisant le triangle BCF, calculer la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au dixième de CF.
\item Sur la figure 2 compléter le patron de cette pyramide en y dessinant en vraie grandeur la face FAC.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3.9,-5.6)(5.6,3.4)
%\psgrid
\pspolygon(-3.7,0)(0,-5.2)(0,2.8)(5.4,0)%AXCY
\psline(-3.7,0)(0,2.8)%AC
\psframe(0.25,0.25)
\uput[l](-3.7,0){A} \uput[dr](0,0){B} \uput[u](0,2.8){C}
\rput(1.6,0.8){Face FBC}\rput(-1.5,-1){Face FAB}\rput(1.5,-5){figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%fig 2

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La figure de cet exercice est à compléter.

Dans le repère orthonormal (O, I, J) on donne les points : A(0 ; 3) et B(2 ; 4).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la distance AB.
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
\item Tracer la droite (D) passant par O de coefficient directeur 12.

Déterminer l'équation de (D).
\item Tracer la droite (D1) passant par A et perpendiculaire à (D). Déterminer l'équation de (D1).
\end{enumerate}

%fig

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

La figure est à compléter au fur et à mesure du problème.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(9.5,8.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(7.3,0.2)(7.3,8.4)(8.8,5.4)%BEAF
\uput[l](0.2,0.2){B} \uput[r](7.3,0.2){E} \uput[u](7.3,8.4){A} \uput[r](8.8,5.4){F} \uput[dr](7.3,4.5){H}
\psarc(7.3,4.5){0.5}{210}{270}\psarc(7.3,8.4){0.5}{270}{300}
\rput(7.6,7.2){$30\degres$}\rput(6.8,3.6){$60\degres$}\psframe(7.3,0.2)(7.1,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

BEH est un triangle rectangle en E.

H est le milieu de [AE].

Les points B, H et F sont alignés.


On donne : 

\begin{center}$\widehat{\text{BHE}} = 60\degres  ;\quad \widehat{\text{HAF}} = 30\degres$  ;\quad HB $= 10$ cm.\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la longueur HE est égale à 5 cm. On pourra utiliser l'extrait de table suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$\sin$ &$\cos$ &$\tan$\\ \hline
$60\degres$& 0,866 &0,5&1,732\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Déterminer la longueur HA. Justifier.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'angle AFH mesure $90\degres$.
\item Les droites (AF) et (BE) se coupent en un point C.
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent les droites (AE) et (BF) pour le triangle ABC ?
		\item En déduire que les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Sur le segment [HA], placer le point I tel que HI $= 3$ cm.

Sur le segment [HB], placer le point J tel que HJ $= 6$ cm.

Démontrer que les droites (IJ) et (AB) sont parallèles.
\item Les droites (CH) et (IJ) se coupent en un point M.

En utilisant les conclusions des questions 3. et 4., prouver que JMC est un triangle rectangle en M.
\item Démontrer que les quatre points J, M, C et F appartiennent à un même cercle ; préciser la position de son centre.
\end{enumerate}
\end{document}