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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1996}
\lfoot{\small Lille}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Lille juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire chacun des nombres $A$ et $B$ sous forme d'une fraction la plus simple possible (fraction irréductible).

Le détail des calculs doit apparaître.

\[A = \dfrac25 - 4 \times \dfrac{1}{15} \,; \qquad B = - \dfrac43 : \dfrac{12}{9}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

En indiquant le détail des calculs, écrire chacun des nombres $C$ et $D$ sous forme d'un entier ou d'une fraction la plus simple possible.

\[C = \dfrac{\sqrt 8 }{\sqrt{18}}\, ; \qquad  D = \left(\sqrt 2+ \sqrt 8\right)^2.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$E = 9x^2 - 25 + (3x + 5)(x - 2)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $9x^2 - 25$, puis factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(3 x + 5)(4 x - 7) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Jean se rend à la papeterie avec Paul.

Jean achète un cahier et un classeur ; il paie 11 francs.

Paul achète 3 cahiers et 4 classeurs ; il paie 40 francs.

Traduire cette situation à l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues et en déduire le prix d'un cahier et celui d'un classeur.

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Une enquête, réalisée sur un échantillon de 30 enfants, porte sur le temps passé devant la télévision à leur retour de l'école entre 17~h~30 et 19~h~30.

La répartition est donnée dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t$ en heures&$0 \leqslant t < 0,5$&$0,5 \leqslant t < 1$&$1 \leqslant t < 1,5$&$1,5 \leqslant t < 2$\\ \hline
Nombre d'enfants&12&9&6&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Douze enfants passent moins d'une demi-heure devant la télévision. Quel pourcentage du groupe de 30 enfants représentent-ils ?
\item Combien d'enfants passent moins d'une heure devant la télévision ? Combien d'enfants passent au moins une heure devant la télévision ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.72\linewidth}
La figure ci-contre est à reproduire et à compléter :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le point E image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$.\\
Quelle est la nature du quadrilatère ACBE ? Justifier la réponse. 
\item Tracer le point D symétrique du point A par rapport à la droite (BC), puis le point K symétrique du point A par rapport au point B.

Indiquer, sans justification, une transformation dans laquelle l'image du triangle ABC est le triangle BKD.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,0)(1.2,3.6)
%\psgrid
\pspolygon(-1.2,0)(0,3.1)(1.2,0)%BAC
\uput[u](0,3.1){A} \uput[l](-1.2,0){B} \uput[r](1.2,0){C}
\psline(-0.7,1.7)(-0.5,1.5)
\psline(0.5,1.5)(0.7,1.7)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Construire le point F tel que $\vect{\text{BF}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\begin{minipage}{0.51\linewidth}
EFG est un triangle rectangle en F{}.

K est le milieu du segment [EG].
La droite passant par K et perpendiculaire à (EF) coupe [EF] en L.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (LK) et (FG) sont parallèles. 
		\item Démontrer que L est le milieu du segment [EF]
	\end{enumerate}
\item Les droites (FK) et (GL) se coupent en M.
Que représentent les droites (FK) et (GL) pour le triangle EFG ? En déduire que la droite (EM) coupe le segment [FG] en son milieu.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7.2,5.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(0.2,4.4)(6.9,0.2)%FEG
\psline(0.2,2.3)(3.55,2.3)(0.2,0.2)%LKF
\psline(0.2,2.3)(6.9,0.2)%LG
\uput[u](0.2,4.4){E} \uput[dl](0.2,0.2){F} \uput[dr](6.9,0.2){G}
\uput[ur](3.55,2.3){K} \uput[l](0.2,2.3){L} \uput[d](2.42,1.6){M}
\psframe(0.2,2.3)(0.4,2.1)\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)\psline(1.7,3.3)(1.9,3.5) \psline(4.9,1.3)(5.1,1.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\newpage

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.59\linewidth}
(SABCD) est une pyramide de hauteur [OS].
Son volume est de $240$ cm$^3$ et sa hauteur [OS] mesure $15$~cm.

\begin{enumerate}
\item À partir de la formule donnant le volume de la pyramide, calculer l'aire de la base (ABCD).
\item O$'$ est le point du segment [SO] tel que O$'$S $= \dfrac12$ OS.

Le plan passant par O$'$ et parallèle à la base (ABCD) coupe les droites (SA) en A$'$, (SB) en B$'$, (SC) en C$'$ et (SD) en D$'$.

Calculer le volume de la pyramide $\left(\text{SA}'\text{B}'\text{C}'\text{D}'\right)$.
\item On donne OA $= 5$ cm.

En utilisant le triangle OSA rectangle en O, calculer au degré près la
mesure de l'angle trigonométrique $\widehat{\text{OSA}}$.

On pourra utiliser cet extrait de table


\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-1.3)(2.8,4.4)
%\psgrid
\pspolygon(0,4.1)(-2.6,-1.1)(1,-1.1)(2.6,1.1)(0,4.1)(1,-1.1)%SADCSD
\psline(-1.2,1.7)(0.46,1.7)(1.3,2.6)%A'D'C'
\pspolygon[linestyle=dashed](-2.6,-1.1)(-1,1.1)(2.6,1.1)%ABCA
\psline[linestyle=dashed](1,-1.1)(-1,1.1)(0,4.1)(0,0)%DBSO
\psline[linestyle=dashed](-1.2,1.7)(-0.46,2.6)(1.3,2.6)%A'D'C'
\uput[l](-2.6,-1.1){A} \uput[l](-1,1.1){B} \uput[u](2.6,1.1){C}
\uput[r](1,-1.1){D} \uput[d](0,0){O} 
\uput[l](-1.2,1.7){A$'$}\uput[ul](-0.46,2.6){B$'$}
\uput[ur](1.2,2.6){C$'$}\uput[r](0.46,1.7){D$'$}
\uput[dl](0,2.2){O$'$}\uput[u](0,4.1){S}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,2.15)(0,0)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\[\begin{array}{l l l}
\tan 18\degres \approx 0,325&\cos 70\degres \approx 0,342&\sin 19\degres \approx 0,326\\
\tan 19\degres \approx 0,344&\cos 71\degres \approx 0,326&\sin 20\degres \approx 0,342
\end{array}\]
\bigskip

\textbf{Questions enchaînées }

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
La figure ci-contre est à reproduire et à compléter à la quatrième question.

On donne : AC $= 4,2$ cm ; AB $= 5,6$ cm ; BC $= 7$ cm.

I est le point du segment [CB] tel que CI = 3 cm.

La parallèle à la droite (AI) passant par B coupe la droite (AC) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle CBD, démontrer que CD $= 9,8$ cm.
		\item Calculer AD et démontrer que le triangle ADB est un triangle
rectangle isocèle.
		\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{DBA}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.1,8.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,3.4)(4.6,3.4)(0.2,7.5)(0.2,0.2)(4.6,3.4)(0.2,3.4)%CBDABC
\psline(0.2,3.4)(2,1.5)%%AI
\uput[l](0.2,3.4){A} \uput[r](4.6,3.4){B} \uput[d](0.2,0.2){C} 
\uput[u](0.2,7.5){D} \uput[d](2,1.5){I} 
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}[resume*,start=3]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{IAB}} = 45\degres$.
		\item En déduire que la droite (AI) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$.
	\end{enumerate}	
\item Soit E le projeté orthogonal du point I sur la droite (AB). Soit F le projeté orthogonal du point I sur la droite (AC). 

Démontrer que le quadrilatère AEIF est un rectangle.
\item Démontrer que IE = IF{}.

Quelle précision peut-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère AEIF ?
\end{enumerate}
\end{document}