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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1998}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et mettre sous la forme la plus simple possible (le détail des calculs devra apparaître sur la copie) :

\[
A = \dfrac72- \dfrac34 \times \dfrac{16}{5}\,;\quad  
B = \left(\sqrt 2 + \sqrt 3\right)\left(\sqrt 2 ) - \sqrt 3\right)\,;\quad   C = \sqrt{125} - \sqrt{20} - \sqrt{45}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $D = 4x^2 - 81+(x - 3)(2x + 9)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser : $4x^2 - 81$, puis factoriser $D$.
\item Résoudre: $(2x + 9)(3x -12) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
On a répertorié les loisirs de $28$ élèves d'une classe de 3\up{e} en $5$ classes et on les a reportés dans le tableau figurant ci-après.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Loisirs			&Sport	&Télé	&Lecture&Musique&\footnotesize Informatique	& Total\\ \hline
Effectif		&7 		&8 		&3 		&4 		&6 		&28\\ \hline
Fréquence (\%)	&25		&		&		&14,3	&		&100\\ \hline
Angle (\degres)	&45		&51		&		&		&39		&180\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter ce tableau (Les fréquences seront arrondies au dixième près et les angles au degré près).
\item Compléter le diagramme semi-circulaire ci-dessous.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2.5,0)(2.5,2.5)
\psline(-2.5,0)(2.5,0)
\psarc(0,0){2.5}{0}{180}
\psline(2.5;45)\psline(2.5;96)\psline(2.5;141)
\rput{22.5}(1.25;22.5){Sport}\rput{65}(1.25;65){Télévision}\rput{-15}(-1.25,0.45){Informatique}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC est un triangle tel que AB = 4,2 cm ; AC = 5,6 cm et BC = 7 cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Calculer son aire.
\item On sait que si R est le rayon du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés ont pour longueurs $a$, $b$, $c$ données en cm, l'aire de ce triangle est
égale à $\dfrac{abc}{4R}$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant cette formule, calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC.
		\item Pouvait-on prévoir ce résultat? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La zone éclairée par une lampe située à 3,50 m du sol est assimilable
à un cône de révolution dont la section au sol est un disque de centre H et de diamètre BC.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(3.5,3.6)
\psline(3.2,0)(0,0)(0.7,3.5)
\rput(0.4,0.4){Sol}
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0.9)(0.8,0.2)
\psline(1.2,0.9)(2,2.6)(2.8,0.9)
\psarc(2,2.8){0.2}{180}{360}
\psline(2,2.8)(2,3.5)\psline(1.8,2.8)(2.2,2.8)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(3.5,3.6)
\psline(1.2,0.9)(2,2.6)(2.8,0.9)%BAC
\psarc(2,2.8){0.2}{180}{360}
\psline(2,2.8)(2,0.9)\psline(1.8,2.8)(2.2,2.8)
\psline(1,0.9)(3,0.9)\psline(2,2.8)(2,3.5)
\uput[l](2,2.6){A} \uput[ul](1.2,0.9){B} \uput[ur](2.8,0.9){C}
\psframe(2,0.9)(1.8,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne $\widehat{\text{BAC}} = 80\degres$.

Calculer HC à 0,01 prés. 

En déduire une valeur approchée du diamètre de la zone éclairée au sol.
\item On considère le cône dont la base est le disque de diamètre BC et de sommet A.

Calculer son volume à 1 m$^3$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit un repère orthonormal (O, I, J). On donne les points : A(1~;~3) B(3~;~4) C(4~;~1)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C.
		\item Calculer les coordonnées du vecteur AB .
	\end{enumerate}
\item On considère le point D tel que  CD = AB.

Calculer les coordonnées du point D.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle $\left(C_1\right)$ de diamètre [IJ] où IJ = 10 cm.
Justifier que l'aire $A_1$ du disque de diamètre [IJ] est de $25 \pi$ cm$^3$.
\item Sur le cercle $\left(C_2\right)$, placer le point K tel que IK $= 6$ cm.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que IJK est un triangle rectangle.
		\item Démontrer que JK $= 8$ cm.
	\end{enumerate}		
\item Calculer l'aire $B_1$ du triangle IJK.

\item Sur la droite (KJ), placer le point E n'appartenant pas au segment [KJ] tel que 

JE $= 4$~cm.

Tracer la perpendiculaire à la droite (KJ) passant par E : elle coupe (IJ) en L.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (EL) et (IK) sont parallèles.
		\item Calculer JL.
	\end{enumerate}
\item JLE est une réduction de IJK.
Quel est le coefficient de réduction ?
En déduire que l'aire $B_2$ de JLE est 6 cm$^2$.
\item Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle JLE ?

Tracer ce cercle. On l'appellera $\left(C_2\right)$.

Justifier que l'aire $A_2$ du disque de diamètre [JL] est $6,25 \pi$ cm$^2$.
\item Démontrer que : $\dfrac{A_2}{B_2} = \dfrac{A_1}{B_1}$.
\end{enumerate}
\end{document}