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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1999}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet  Lille  juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer : $A= \dfrac79 - \dfrac19 \times \dfrac32$.

Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Mettre sous la forme $a + b\sqrt6$ l'expression :
$B = \left(\sqrt3 - \sqrt2\right)^2$.
\item Mettre sous la forme $a\sqrt b$ l'expression :$ C = \sqrt7 - 7 \sqrt{700} + \sqrt28$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$D = (2x - 1)^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(2x - 3) (2x + 1) = 0$.
\item Calculer D pour $x = \dfrac12$, puis pour $x = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation : $5 - 2x < x - 4$.
\item Représenter l'ensemble des solutions sur un axe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le prix d'un magnétoscope affiché \np{3520} F et sur lequel on consent une remise de 25\,\%.
\item Un téléviseur vous a coûté \np{3150} F parce qu'on vous a fait une remise de 25\,\% sur le prix initial.

Quel était le prix initial de ce téléviseur ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}SABC est un tétraèdre dont la base est un triangle rectangle et isocèle en C. 

La hauteur est l'arête [SC].

SC = 3 cm CA = CB = 4 cm

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\item Calculer la longueur SA.
\item Compléter le patron de cette pyramide à partir de la figure ci-contre..
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{SAC}}$ à 1 degré près.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,9.5)
\pspolygon(0,4.7)(5.3,6.4)(1.5,9.2)%ABS
\uput[d](0,4.7){A} \uput[ur](5.3,6.4){B} \uput[u](1.5,9.2){S}\uput[dr](1.5,6.2){C}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0,4.7)(1.5,6.2)(5.3,6.4)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](1.5,6.2)(1.5,9.2)
\psframe(1.5,6.2)(1.75,6.45)\psline(1.5,6.45)(1.35,6.2)(1.35,6)
\psline(1.35,6)(1.55,6)(1.75,6.2)
%%%%%%
\pspolygon(0.5,0)(4.5,4)(0.5,4)%ABC
\uput[d](0.5,0){A} \uput[r](4.5,4){B}\uput[l](0.5,4){C}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

A, B et C sont trois points du plan.

Compléter la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.3,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](0.5,0.4)(2.9,0.2)(2.3,2.8)
\uput[ul](2.3,2.8){A} \uput[r](2.9,0.2){B}\uput[l](0.5,0.4){C}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point M image de A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item Donner un vecteur égal au vecteur $\vect{\text{MA}}$.
\item Construire K tel que : $\vect{\text{CA}} + \vect{\text{CB}} = \vect{\text{CK}}$ et démontrer que : $\vect{\text{CB}} = \vect{\text{AK}}$.
\item Démontrer que : $\vect{\text{MA}} = \vect{\text{AK}}$.

Que peut-on en déduire pour le point A ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Ceci est un schéma d'une toile d'araignée.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
%\psgrid
\pspolygon(0,5.2)(0,0.6)(3.7,0.2)(6.3,2.5)(4.1,5.4)
\psline(0,5.2)(2.5,2.3)(0,0.6)
\psline(3.7,0.2)(2.5,2.3)(6.3,2.5)
\psline(2.5,2.3)(4.1,5.4)
\pspolygon(1.2,3.8)(1.2,1.4)(3.1,1.2)(4.4,2.4)(3.4,4)
\uput[l](2.5,2.3){A} \uput[dr](4.4,2.4){B}\uput[r](6.3,2.5){C}
\uput[dl](3.1,1.2){D}\uput[d](3.7,0.2){E}
\end{pspicture}
\end{center}

Les points A, D, E d'une part et A, B, C d'autre part sont alignés. On a :

AB $= 16$ cm BC $= 14,4$ cm AD $= 10$ cm AE $= 19$ cm.

Les droites (BD) et (CE) sont-elles parallèles? Justifier la réponse.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\emph{Dans ce problème, l'unité utilisée est le millimètre}

\medskip

ABC est un triangle tel que : AB $= 42$, AC $= 56$, BC $= 70$.

Dans tout le problème :
\begin{description}
\item[ ] M est un point du segment [BC] distinct de B et C;
\item[ ] la perpendiculaire à la droite (AB) passant par M coupe le segment [AB] en H;
\item[ ] la perpendiculaire à la droite (AC) passant par M coupe le segment [AC] en K.
\end{description}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A.
\item Compléter la figure 1 ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,5)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(5.5,0)(0,4.2)%ACB
\uput[dl](0,0){A} \uput[l](0,4.2){B} \uput[r](5.5,0){C} %\uput[ur](){M} 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.6,3)\uput[ur](1.6,3){M}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Démontrer que AHMK est un rectangle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, BM $= 14$.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le théorème de Thalès et ses conséquences dans les triangles BHM et BAC, calculer BH et HM.
		\item En déduire AH.
	\end{enumerate}
\item Calculer le périmètre du rectangle AHMK.
\end{enumerate}

\medskip

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on pose BM $= x$ ($x$ en mm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : HM $= 0,8x$.
		\item Exprimer BH en fonction de $x$.
		
En déduire que : AH $= 42 - 0,6x$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le périmètre du rectangle AHMK en fonction de $x$. (On donnera le résultat sous la forme développée et réduite.)
		\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle HM = AH.
		\item Pour la valeur obtenue, préciser la nature de AHMK et calculer son périmètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie D}

\medskip

Dans cette partie, le point M est l'intersection de la bissectrice de
l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ et de la droite (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la figure ci-dessous, construire les points M, H et K.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,5)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(5.5,0)(0,4.2)%ACB
\uput[dl](0,0){A} \uput[l](0,4.2){B} \uput[r](5.5,0){C} %\uput[ur](){M} 
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.6,3)\uput[ur](1.6,3){M}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Démontrer que AHMK est un carré.
\item Quelle est, dans ce cas, la valeur de BM ?
\end{enumerate}
\end{document}