\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Lille  septembre 1995},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Lille }
\lfoot{\small septembre 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille  septembre 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer: $A = \dfrac{3,17 + 4,8 \times 10^{-1}}{6,9 \times 10^{-1} + 4 \times  10^{-2}}$.


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre l'inéquation, puis représenter les solutions sur une droite graduée:

\[4x - 3 > 6x.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un village du nord de la France, on a relevé les températures suivantes le 1\up{er} janvier de ces vingt dernières années :

\[- 3~;~ +4~;~0~;~+2~;~-5~;~ -3~;~+10~;~-4~;~+1~;~-13~;~-1~;~+2~;~+9~;~-3~;~-2~;~-4~;~ +4~;~-2~;~ -1~;~-1.\]

Calculer la température moyenne le 1\up{er} janvier de ces vingt dernières années.


\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{minipage}{0.8\linewidth}
La balise ci-contre est formée :

\begin{itemize}
\item d'une demi-boule de rayon $r$ ;
\item d'un cône de révolution de rayon de base $r$ et de hauteur $2 r$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $r$ le volume de la demi-boule. ,
\item Exprimer en fonction de $r$ le volume du cône.
\item Montrer que le volume de la balise est $\dfrac43 \pi r^3$.
\item Calculer le volume de cette balise pour $r = 3$ dm. (On donnera le résultat arrondi à 1 dm $^3$ près.)
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.18\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(0.8,3)
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(0.8,0.35){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(0.8,0.35){180}{360}
\psarc(0,0){0.8}{180}{360}
\psline[linestyle=dashed](-0.8,0)(0.8,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,2)
\psline(-0.8,0)(0,2)(0.8,0)
\psline(0,2)(0,2.8)(0.5,2.8)
\psline(0,2.4)(0.5,2.4)
\psarc(1,2.6){0.54}{158}{202}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (0, I, J). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points K$(0~;~-3)$,  Z$(5~;~-2)$,  T(6~;~3).
\item Construire le point L tel que $\vect{\text{ZK}} + \vect{\text{ZT}} = \vect{\text{ZL}}$. 

Lire sur le graphique les coordonnées du vecteur $\vect{\text{ZL}}$.
\item Calculer ZK et ZT.

Quelle est la nature du quadrilatère KZTL ?
\item En déduire ce que représente la droite (TK) pour le segment [ZL].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle HIJ tel que HI $= 13$ cm, IJ $= 11,2$ cm, JH $= 6,6$ cm.
\item Démontrer que le triangle HIJ est rectangle en J.
\item Utiliser la trigonométrie pour calculer l'angle $\widehat{\text{HIJ}}$ à un degré près.
(On pourra utiliser une calculatrice ou l'extrait de table ci-dessous.)
\item En déduire l'angle $\widehat{\text{IHJ}}$ à un degré près.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle &28& 29&30&31&32&33\\ \hline
Cosinus &0,883& 0,875& 0,866 &0,,857& 0,848&0,839\\ \hline
Sinus&0,469& 0,485&0,500& 0,515& 0,530 & 0,545\\ \hline
Tangente& 0,532& 0,554&0,577&0,601& 0,625& 0,649\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip
\emph{Les trois parties du problème sont indépendantes}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Le cube ci-contre a pour arête 6 cm.

O est le centre de la face avant ASCO.

On a placé les points L et M sur l'arête [AS] et N sur
l'arête [SC] tels que AL = MS = SN $= x$
($x$ est compris strictement entre 0 et 3 cm).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,4.8)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(3.2,3.2)%DCSA
\psline(3.2,0.2)(4.2,1.7)(4.2,4.7)(3.2,3.2)%CFBS
\psline(4.2,4.7)(1.2,4.7)(0.2,3.2)%BEA
\psline(0.2,3.2)(4.2,4.7)(3.2,0.2)%ABC
\psline(0.2,0.2)(3.2,3.2)%DS
\psline(0.2,3.2)(3.2,0.2)%AC
\uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[l](0.2,3.2){A} \uput[r](3.2,3.2){S} \uput[dr](3.2,0.2){C}
\uput[ul](1.2,4.7){E} \uput[ur](4.2,4.7){B} \uput[r](4.2,1.7){F}
\uput[d](1.7,1.7){O} \uput[d](0.9,3.2){L} \uput[u](2.5,3.2){M}\uput[r](3.2,2.5){N} 
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](0.9,3.2)(2.5,3.2)(3.2,2.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Les parties I et II du problème se déroulent dans la face avant du cube}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure ci-dessus aux vraies dimensions et placer successivement les points R, V, T, H, P tels que:
	\begin{enumerate}
		\item la symétrie centrale de centre O transforme L en R ;
		\item la symétrie orthogonale d'axe (AC) transforme M en V et N en T ;
		\item  la translation de vecteur $\vect{\text{SN}}$ transforme A en H ;
		\item la rotation de centre O qui transforme A en S, transforme M en P.
	\end{enumerate}
\item Le polygone MNPRTVHL obtenu est un octogone.

Compléter, sans justifier, la phrase :

Si ML = MN, alors MNPRTVHL est un octogone ...
\end{enumerate}

\medskip

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont parallèles.
\item Montrer que LM $= 6 - 2x.$
\item Montrer que MN $= x\sqrt 2$.
\item Montrer que si $x= 6 - 3\sqrt 2$, alors ML = MN.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Cette partie du problème consiste à couper le \og coin\fg{} du cube de sommet S par un plan parallèle au plan ABC et passant par M.

 On obtient la section MNQ.
 \end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,4.8)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(3.2,3.2)%DCSA
\psline(3.2,0.2)(4.2,1.7)(4.2,4.7)(3.2,3.2)%CFBS
\psline(4.2,4.7)(1.2,4.7)(0.2,3.2)%BEA
\psline(0.2,3.2)(4.2,4.7)(3.2,0.2)%ABC
%\psline(0.2,0.2)(3.2,3.2)%DS
\psline(0.2,3.2)(3.2,0.2)%AC
\pspolygon(2.5,3.2)(3.2,2.5)(3.47,3.6)%MNQ
\uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[l](0.2,3.2){A} \uput[dl](3.2,3.2){S} \uput[dr](3.2,0.2){C}
\uput[ul](1.2,4.7){E} \uput[ur](4.2,4.7){B} \uput[r](4.2,1.7){F}
%\uput[d](1.7,1.7){O} 
\uput[u](2.5,3.2){M}\uput[r](3.2,2.5){N} 
\uput[ul](3.47,3.6){Q} 
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](3.47,3.6)(2.5,3.2)(3.2,2.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item La pyramide SABC est une pyramide régulière de base ABC et de sommet S.

Calculer son aire latérale.

%fig
\item Le rapport des longueurs des arêtes des pyramides SMNQ et SABC est $\dfrac{x}{6}$.

Exprimer en fonction de $x$ le rapport des aires de ces pyramides, puis l'aire latérale de la pyramide régulière SMNQ de base MNQ et de sommet S.
\end{enumerate}
\end{document}