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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1996}
\lfoot{\small Lille}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Lille septembre 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire chacun des nombres $A$ et $B$ sous forme d'une fraction la plus simple possible (fraction irréductible).

Le détail des calculs doit apparaître.

\[A = \dfrac47 - \dfrac56 \times \dfrac37 \, ;\qquad   B = \left(\dfrac53 - 1\right) : \dfrac57 \, ; \qquad C = 5 \times \left(10^2\right)^2 \times 10^{-5}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$E = 3\sqrt{20}+ \sqrt{500} -\sqrt{45}$.

Écrire $E$ sous la forme $a \sqrt{5}$ où $a$ est un entier.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne :

$A = (4x - 3)^2 + (4x - 3)(3x + 5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation $(4x - 3)(7x + 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Cinq élèves d'une classe font un devoir supplémentaire noté sur 20. La moyenne du devoir pour ces cinq élèves est de 13,2.

En recopiant ses notes, le professeur en a oublié une que l'on appelle $x$. Voici donc les cinq notes :

\[12 \quad;\quad 8 \quad;\quad 15 \quad;\quad x \quad;\quad 13,5.\]

Quelle est la valeur de la note $x$ oubliée dans le report des notes ? 

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure de cet exercice est commencée. Elle sera complétée à la question 3.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
%\psgrid
\psline(2.5,4)%CA
\psline(2.2,0)(4.7,4)%GE
\psline(2.2,3.5)(4.4,3.5)%AE
\psline(1.7,2.7)(3.9,2.7)%BF
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0.56,0.9)(3.25,1.7)%CG
\uput[l](2.2,3.5){A} \uput[l](1.7,2.7){B} \uput[l](0.56,0.9){C}
\uput[r](4.4,3.5){E} \uput[r](3.9,2.7){F} \uput[r](3.25,1.7){G}
\end{pspicture}
\end{center}

On donne: A, B, C trois points alignés et E et F deux points tels que AEFB soit un parallélogramme :

Le point G est tel que EF = FG.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter : $\vect{\text{AE}} + \vect{\text{AB}} =$
		\item Recopier et compléter : $\vect{\text{BF}} + \vect{\text{FG}} =$
	\end{enumerate}
\item Démontrer que AFGB est un parallélogramme.

En déduire que $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{BG}}$.
\item Placer le point H image du point C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AF}}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sans justifier, donner les images des points A, B, C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AF}}$.
		\item En déduire que les points F{}, G, H sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour cet exercice, utiliser le repère orthonormal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=4mm}
\begin{pspicture}(-10,-17)(9,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-10,-17)(9,12)
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](2,0){2}\uput[ul](0,2){1}
\psline[linewidth=1.25pt](2,-0.2)(2,0.2)
\psline[linewidth=1.25pt](-0.2,2)(0.2,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce repère, placer les points A, B, C tels que : 
		
		\begin{center} A(-4~;~2)\qquad  B(2~;~5)\qquad   C(1~;~-8)\end{center}
		
		\item Calculer les valeurs exactes des distances AB, AC, BC.
		\item En déduire que le triangle ABC est rectangle.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation de la droite (AB) est $y = \dfrac12 x + 4$.
		\item Le point E(0~;~4) est-il sur la droite (AB) ? Justifier puis placer E.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point E et placer le point H projeté orthogonal du point C sur la
droite $(\Delta)$.
		\item Démontrer que le quadrilatère AEHC est un rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 8$ cm et AC $= 6$ cm.
		\item Démontrer que BC $= 10 $cm.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point M sur [CA] tel que CM $= 1,5$ cm.
		\item La droite parallèle à (AB) passant par le point M coupe [BC] en N. 
		
Calculer la longueur MN.
	\end{enumerate}
\item La droite parallèle à (BC) passant par M coupe [AB] en K.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère MNBK est un parallélogramme.
		\item Les segments [MB] et [NK] se coupent en I. Que représente
le point I pour le segment [BM] ?
	\end{enumerate}
		\item Démontrer que AI $= \dfrac12$ BM. 
		
En déduire que AIB est un triangle isocèle en I.
		
\item Soit H le milieu de [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que AM $= 4,5$ cm, puis démontrer que IH $= 2,25$ cm.
		\item Démontrer que [IH] est la hauteur issue de I dans le triangle AIB.
	\end{enumerate}
\item Comparer l'aire du triangle AIB et l'aire du quadrilatère MNBK.
\end{enumerate}
\end{document}