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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small septembre 1998}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille septembre 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible 
:

\[A = \dfrac{\dfrac56 + 1}{\dfrac54}.\]
\item $B = 2\sqrt{15} + \sqrt{36} - \sqrt{12}$.

Écrire $B$ sous la forme $a + \sqrt{3}$ avec $a$ et $b$ entiers. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire: $C = (4x - 1)^2 - 3x(3x - 2)$.
\item Factoriser:$D = (5x - 1)^2 - 9$.
\item 3 est-il solution de l'équation $2x^2 + 3x - 26 = 0$ ?Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la figure ci-dessous: ABCD est un carré ; G est un point du segment [AD] ; AEFG est un rectangle ; B est un point du segment [AE] ;

AB $= 7$ ; BE $= 3$ ; GD $= x$.

(L'unité utilisée est le centimètre)

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(6,4.5)
\psframe(0.7,0.2)(4.1,3.6)%DCBA
\psframe(0.7,3.6)(5.6,1.2)%GFEA
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.7,3.8)(4.1,3.8)\uput[u](2.4,3.8){7}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.1,3.8)(5.6,3.8)\uput[u](4.85,3.8){3}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,3.6)(0.5,0.2)\uput[l](0.5,1.9){7}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.3,1.2)(4.3,0.2)\uput[r](4.3,0.7){$x$}
\uput[ul](0.7,3.6){A} \uput[dr](4.1,3.6){B} \uput[dr](4.1,0.2){C} \uput[d](0.7,0.2){D}
\uput[ur](5.6,3.6){E} \uput[dr](5.6,1.2){F} \uput[dr](0.7,1.2){G}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur AG en fonction de $x$.

En déduire l'aire du rectangle AEFG en fonction de $x$.
\item Calculer la valeur de $x$ pour que l'aire du rectangle AEFG soit égale
à l'aire du carré ABCD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici les salaires des dix employés d'une entreprise :

\np{5700} F - \np{6800} F - \np{9300} F - \np{7200} F - \np{7900} F - \np{8400} F - \np{9600} F - \np{6900} F - \np{8800} F - \np{7500} F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire moyen des employés.
\item Calculer le pourcentage des employés gagnant moins de \np{8000} F{}.
\item Compléter l'histogramme commencé sur la feuille annexe à rendre avec la copie, représentant la répartition des employés suivant leur salaire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
EDC est un triangle rectangle en D tel que :

DC $= 5$ cm et ED $= 6$ cm.

Le point A est le milieu du segment [ED].

$\mathcal{D}$ est la parallèle à la droite (DC) passant par le point A. Elle coupe la droite (EC) au point M.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(4.1,3.9)
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
%\psgrid
\pspolygon(0.7,0.5)(3.2,0.5)(0.7,3.5)%DCE
\psline(0,2)(4.1,2)%AMB
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.2,0.5)(0.2,2)\uput[l](.2,1.25){3}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.2,2)(0.2,3.5)\uput[l](0.2,2.75){3}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.7,0.3)(3.2,0.3)\uput[d](1.95,0.3){5}
\uput[ul](0.7,2){A} \uput[ur](3.3,2){B} \uput[dr](3.2,0.5){C} \uput[dl](0.7,0.5){D}
\uput[u](0.7,3.5){E} \uput[ur](2,2){M} \uput[u](4,2){$\mathcal{D}$}
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7](3.3,2)
\psline(0.6,2.7)(0.8,2.8)\psline(0.6,1.2)(0.8,1.3)
\psframe(0.7,0.5)(0.9,0.7)
\end{pspicture}
\end{minipage}

Le point B est le symétrique du point A par rapport au point M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point M est le milieu du segment [EC]. 

En déduire que AEBC est un parallélogramme.
\item Quelle est l'image du point B dans la translation du vecteur $\vect{\text{CA}}$ ?
\item Recopier et compléter les égalités en utilisant les points de la figure.

\[\vect{\text{CB}} + \vect{\text{BE}} = \ldots, \qquad \vect{\text{BC}} + \vect{\text{BE}} = \ldots\]

\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{DEC}}$, arrondie au degré près. 

On pourra utiliser l'extrait de table suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\bfseries} c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle en degrés&39&40&41\\ \hline
cos& 0,777 &0,629& 0,810\\ \hline
sin& 0,766 &0,643& 0,839\\ \hline
tan&0,755& 0,656& 0,869\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\medskip

\begin{minipage}{0.73\linewidth}
On considère la pyramide SABC.

Sa base est le triangle ABC tel que :

AB = 8~cm, AC = 6~cm et BC = 10~cm.

Sa hauteur est le segment [AS] de longueur 12~cm.

M est le point de [AB] tel que AM $= 4\sqrt 2$.

N est le point de [AC] tel que: AN $= 3\sqrt 2$.

Les dimensions ne sont pas respectées sur le schéma ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.24\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.4,5.8)
\pspolygon(0.2,5.5)(0.2,1.4)(1.1,0.2)(2.9,1.4)%SACB
\pspolygon(0.2,5.5)(0.7,0.7)(1.1,0.2)%SNC
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.4)(2.9,1.4)%AB
\psline[linestyle=dashed](0.2,5.5)(2,1.4)(0.7,0.7)%SMN
\uput[u](0.2,5.5){S} \uput[l](0.2,1.4){A} \uput[r](2.9,1.4){B}
\uput[d](1.1,0.2){C} \uput[ur](2,1.4){M} \uput[dl](0.7,0.7){N} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
		\item Démontrer que l'aire du triangle ABC est 24 cm$^2$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide SABC.
		\item Démontrer que le volume de la pyramide SAMN est 48 cm$^2$.
		\item En déduire le volume de la pyramide SMBCN.
	\end{enumerate}	
\item Où doit-on placer le point S$'$ sur le segment [AS] pour que le
volume de la pyramide S$'$ABC soit égal au volume de la pyramide SAMN ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le cercle $\mathcal{C}$, au verso de la feuille annexe à rendre avec la copie, a un diamètre [AE] qui mesure 6 cm.

$\mathcal{C}'$ est le cercle de centre E passant par A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer sur le cercle $\mathcal{C}$ un point N tel que $\widehat{\text{EAN}}$ mesure $30\degres$.

Démontrer que le triangle ANE est rectangle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur NE.
		\item À l'aide du théorème de Pythagore, calculer la valeur exacte de la longueur AN, puis une valeur approchée à $0,1$ près.
	\end{enumerate}
\item La droite (AN) recoupe le cercle $\mathcal{C}'$ en M.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle ALE est isocèle.
		\item En déduire que N est le milieu de [AM).
	\end{enumerate}
\item  F est le centre du cercle $\mathcal{C}$.

Démontrer que les droites (FN) et (EM) sont parallèles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $\mathcal{D}$ tangente en N au cercle $\mathcal{C}$.
		
Expliquer la construction.
		\item Démontrer que les droites $\mathcal{D}$ et (ME) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $\mathcal{D}'$ perpendiculaire à (EM) passant par M.
		\item Que peut-on dire de la droite $\mathcal{D}'$ par rapport au cercle $\mathcal{C}'$ ?
		\item Démontrer que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item Les droites $\mathcal{D}$ et (ME) se coupent au point H.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{NMH}}$ mesure $30\degres$.
		\item Dans le triangle NMH rectangle en H, calculer la longueur MH.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}