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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille septembre 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&(1 - x)^2 - (2x - 3)^2\quad \text{et}\\
B(x)&=&(2x + 1)\left(4x^2 - 16\right) - \left(x^2 - 4\right)(8x - 1) - 4x.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de produits.
\item Développer, réduire et ordonner $A(x)$ et $B(x)$.
\item On considère la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ est-elle définie?
		\item Simplifier $F(x)$.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ la fraction $F(x)$ prend-elle
les valeurs numériques suivantes : 
\[0,\qquad \dfrac12,\qquad - 1 ?\]
	\end{enumerate}
\item Représenter dans un même système d'axes les fonctions
\begin{center}$y_1 =4 - 3x$\qquad  et \qquad $y_2 = \dfrac52 x + 4$.\end{center}

Lire les coordonnées du point commun aux deux lignes tracées.

Expliquer comment il confirme un résultat obtenu à la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne le cercle de centre O et de rayon $a$.

[BC] est un diamètre de ce cercle, [BA] est une corde de longueur $a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $a$ la longueur du segment [AC] et préciser les mesures en degrés des angles du triangle ABC.
\item D est le milieu de [AB] ; (CD) coupe (AO) en E; la parallèle à (AB) menée par E coupe (AC) en F.

Montrer que F divise le segment [AC] dans le rapport $\dfrac12$.

Exprimer en fonction de $a$ les longueurs des segments [AF] et [CF].

Montrer que l'aire du triangle BFC est les $\dfrac23$ de celle du triangle ABC.
\item Calculer la valeur du rapport ~;
en déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABF}}$.
\item Montrer que la droite (OF) est médiatrice du segment [BC].

Cette droite (OF) coupe en G le demi-cercle de diamètre [BC] sur lequel ne se trouve pas le point A ; (AG) et (BF) se coupent en H.

Que représente le point H dans le triangle ABC ?
\end{enumerate}
\end{document}