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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit l'application $f :$

\[\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R\\
x &\longmapsto& (3x - 2)^2 - (6x - 4)(x -2)+ 3x -2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer $f(x)$.
		\item En utilisant ce développement, calculer $f\left(-\dfrac23 \right)$ et $f\left(2\sqrt 3 - 1\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Calculer les réels $x$, pour lesquels $f(x) = 0$.
		\item En déduire que l'application $f$ n'est pas une bijection.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction rationnelle $g$ :

\[\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R\\
x &\longmapsto&\dfrac{(x + 3)\left(9x^2 - 4\right)}{(x + 3)(3x - 2)}
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le domaine de définition de $g$ ?
		\item Simplifier $g(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, les équations

\begin{center}$g(x) = - \dfrac47$\qquad et $g(x) = 4$.\end{center}
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthonormé \Oij, construire la représentation graphique $(D)$ de la fonction affine $h$ définie par

\[h(x) = 3x + 2.\]

		\item Soit A et B, deux points de $(D)$, tels que
A a pour abscisse $\dfrac23$ et B pour ordonnée $-7$.

Calculer les coordonnées de A et B et placer les points sur le graphique.
		\item En déduire la représentation graphique de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité : 1~cm), on considère les points A et B tels que

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} -2\vect{\imath}$, \qquad  $\vect{\text{OB}} = \vect{\imath} + 8\vect{\imath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A et B dans le repère \Oij.
\item Soit C le point défini par l'égalité vectorielle $\vect{\text{OC}}= \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}$.

Calculer les coordonnées de C.

Quelle est la nature du quadruplet (O, A, C, B) ?

Justifier la réponse.
\item Calculer $d$(O, A), $d$(O, C), $d$(A, C), les coordonnées de C étant 4 et 6.

En déduire la nature du triangle (O, A, C).
\item Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à O. 

Démontrer que (O, A$'$, B, C) est un rectangle.
\item Quelle est la nature du triangle (A$'$, C, A) ? 

Calculer la tangente de l'écart angulaire $\alpha$ de l'angle
géométrique $\widehat{\text{CA}'\text{O}}$.

À l'aide d'une table trigonométrique, donner un encadrement de $\alpha$ à un degré près.
\end{enumerate}
\end{document}