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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer $\left(\sqrt 3 - 2\sqrt 5\right)^2$ puis comparer 

\[\sqrt{23- 4\sqrt{15}}\quad  \text{et} \quad  \sqrt 3 - 2\sqrt 5.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\begin{center}$f(x) =ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ sachant que les points A(1~;~5) et B(2~;~1) appartiennent à la représentation graphique de $f$.
		\item Le plan étant rapporté à un repère \Oij, représenter graphiquement l'application
		
\[\begin{array}{l l c l}
f:&\R& \to & \R\\
&x&\longmapsto&-4x + 9
\end{array}\]
	\end{enumerate}
		\item Utiliser le graphique pour résoudre

\begin{center}\begin{tabular}{l l}
dans $\R$, &$f(x)\leqslant  0$ ;\\
dans $\R \times \R$,\:& $y + 4x - 9 < 0$.
\end{tabular}\end{center}

\item Soit $g$ l'application de $\R$ vers $\R$ définie par 
\[g(x) = (- 2x + 1)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)$ et en donner un encadrement à $10^{-2}$ près, sachant que 
		
		$1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.
		\item Résoudre dans $\R$ les équations
\[g(x) = -1, \qquad  g(x)=4, \qquad g(x) = 0.\]

$g$ est-elle bijective ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir l'application $f \circ g$.
		
Montrer que $f \circ g(x)$ peut s'écrire sous la forme
\[(-4x + 5)(4x + 1).\]
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f \circ g(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points
\begin{center}A(0~;~2),\qquad B(2~;~0)\quad  et \quad C$(3~;~-1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs  $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
\item Montrer que les points A, B et C sont alignés.
\item Donner l'abscisse de C dans le repère (A, B) sur la droite (AB).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit (A, E, F) un triangle isocèle et rectangle en A, tel que AF $= 8$ (l'unité étant le centimètre).

On désigne par C le milieu de (A, E), B le milieu de (A, F) et D le milieu de (F, E).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(B, C) et $d$(E, F),
\item Quelle est la médiatrice de [FE] ? celle de [BC] ?
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, D, C) ?

Toutes les réponses devront être justifiées.
\item Soit I le point d'intersection des droites (AD) et (BC).

On désigne par $S_{(\text{AD})} et S_{(\text{BC})}$ les symétries orthogonales par rapport aux droites (AD) et (BC).

Compléter ci-dessous :

\[\begin{array}{l l l}
\text{A}&\overset{S_{(\text{AD})}}{\longmapsto}&\quad \overset{S_{(\text{BC})}}{\longmapsto}\\
\text{B}&\longmapsto&\quad \longmapsto\\
\text{C}&\longmapsto&\quad \longmapsto\\
\text{D}&\longmapsto&\quad \longmapsto\\
\end{array}\]

En déduire :

\[\begin{array}{l l}
\multicolumn{2}{c}{S_{(\text{BC})} \circ S_{(\text{AD})}}\\
\text{A}&\quad\longmapsto\\
\text{B}&\quad\longmapsto\\
\text{C}&\quad\longmapsto\\
\text{D}&\quad\longmapsto\\
\end{array}\]

Trouver une autre application qui donne les même images pour A, B, C et D que 

$S_{(\text{BC})} \circ S_{(\text{AD})}$.
\end{enumerate}
\end{document}