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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression
\[E(x) = (x - 5)^2 - (x - 5)(x + 5) + (12x - 45).\]

Effectuer et réduire cette expression.
\item Soit la fraction :
\[F(x) = \dfrac{4x^2 - 25 - 2(2x+5)^2}{2x + 5}.\]

La simplifier lorsque cette opération est possible.
\item Représenter sur un même graphique les fonctions
\[y = 2x + 5\]
(soit A le point d'intersection de la droite représentant cette fonction avec $y'\text{O}y$) et
\[y = - 2x - 15\]
(soit B le point d'intersection de la droite représentant cette fonction avec $y'\text{O}y$).

Calculer les coordonnées  du point d'intersection, C, de ces deux droites.

Sur quelle autre droite particulière le point C se trouve-t-il ?
\item Trouver l'équation de la médiane [AM] du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un point M variable sur un demi-cercle de diamètre [AB].

(MA) et (MB) recoupent la perpendiculaire P$x$ menée par un point, P, du diamètre [AB] à ce diamètre
respectivement en C et D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles CAP{}, MAB et DPB.

Établir les relations
\begin{center}
AP $\times $ AB = AM $\times $ AC,\\

AP $\times $ BP = PD $\times $ PC.\end{center}
\item Écrire les mêmes relations dans le cas particulier
où le point M est en R, intersection de P$x$ avec le demi-cercle.

Quelles relations métriques dans le triangle rectangle retrouve-t-on ainsi ?
\item (BC) et (AD) se coupent en N.

Que peut-on dire du quadrilatère ABMN ?

Sur quelle ligne se déplace le point N quand le point M varie ?
\end{enumerate}
\end{document}