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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Limoges}}
\rfoot{\small{juin 1968}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression où $x$ est un nombre réel
\[N(x)  = (2x - 3) (2 - x) - (2x - 3)^2 + 4x^2 - 9.\]
	\begin{enumerate}
		\item Développer et ordonner $N(x)$ suivant les puissances décroissantes
de $x$.
		\item Décomposer $N(x)$ en un produit de deux facteurs du premier degré 
		\item Déterminer $x$ pour que $N(x)$ soit nul.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier :
\[F(x) = \dfrac{(2x - 3) (2 - x) - (2x - 3)^2 + 4x^2 - 9}{(x - 6) (x - 8)}.\]

		\item Pour quelles valeurs de $x$ cette simplification est-elle légitime ?
		\item Déterminer $x$ pour que $F(x) = \dfrac12$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire dans un même système d'axes orthonormés (axes perpendiculaires ; unité le cm) les droites $(D)$ et $(L)$ ayant respectivement pour équation:
 \begin{center}$y = 2x - 3, \qquad y = \dfrac{6 - x}{2}$\end{center}
		\item Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point d'intersection M de $(D)$ et $(L)$.
		\item Montrer que les droites $(D)$ et $(L)$ sont perpendiculaires et calculer la longueur du segment [OM].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On considère la figure formée par :

\begin{itemize}
\item un demi-cercle de centre O, de rayon $R$, limité aux points A et B,
\item le point M appartenant au demi-cercle et tel que la mesure du segment AM soit égale à $\dfrac32 R$, $\left(\text{AM} = \dfrac32 R\right)$.
\item la médiatrice du segment [OA].
\end{itemize}

Désignons par : 
\begin{description}
\item[ ] E, l'intersection de cette médiatrice avec (OA),
\item[ ] S, l'intersection de cette médiatrice avec (AM),
\item[ ] P{}, l'intersection de cette médiatrice avec le demi-cercle.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AMB et AES.

Calculer en fonction de $R$, les mesures des segments [MB], [AS] et [SE].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les quatre points S, E, B, M appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre. (Le tracé de ce cercle n'est pas demandé).
		\item Déterminer, en fonction de $R$, la valeur du produit AS $\cdot$ AM des mesures des segments [AS] et [AM].
		\item Montrer que la droite (AO) est tangente en O au cercle circonscrit au triangle SOM.
	\end{enumerate}
\item Évaluer l'angle $\widehat{\text{PMA}}$.

Les angles $\widehat{\text{PMA}}$ et $\widehat{\text{SAE}}$ sont-ils égaux ?
\item Désignons par H, la projection orthogonale de M sur le segment [AB].

Calculer, à 0,1~cm$^2$ près, l'aire du triangle SAH si $R$ mesure $8$~cm.
\end{enumerate}

(Les questions 2., 3., 4. sont indépendantes les unes des autres).
\end{document}