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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Limoges}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Limoges juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le polynôme 
\[P(x) = x^2 - 4x + 4\]
peut s'écrire sous la forme du carré d'un binôme du premier degré.
\item Quel polynôme $R(x)$ faut-il ajouter à $P(x)$ pour
obtenir le polynôme 

$Q(x) = 3x^2 - 8x + 4$ ?

Utiliser la remarque précédente pour factoriser
\[Q(x) = 3x^2 - 8x + 4.\]
\item Quel est l'ensemble des solutions de l'équation
\[3x^2 - 8x + 4 = 0 :\]
	\begin{enumerate}
		\item dans l'ensemble, $\R$, des nombres réels ;
		\item dans l'ensemble, $\Q$, des nombres rationnels; 
		\item dans l'ensemble, $\N$, des entiers naturels ?
	\end{enumerate}
\item On donne la fraction rationnelle 
\[A(x) = \dfrac{(x - 2)^2 + 2x(x - 2)}{9x^2 - 4}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition de cette fraction ?
		\item Simplifier $A(x)$.
		\item Résoudre l'équation $A(x) = 1$ dans l'ensemble,
$\Q$, des rationnels.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $f$ et $g$ (ou mieux les applications de $\R$ sur $\R$)
\[x \overset{f}{\longmapsto} y = x - 2,\qquad x \overset{g}{\longmapsto}y = 3x + 2.\]
	\begin{enumerate}
		\item Construire leur graphe dans un repère cartésien orthonormé \Oij.
		\item Comment peut-on vérifier à l'aide du graphe
le résultat de la question c. du 4. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B.} - Les questions 4. et 5. peuvent-être traitées indépendamment des trois premières.

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Sur une droite $x'x$, on choisit une origine, O, et un vecteur unitaire, $\vect{\imath}$ (l'unité de longueur étant le centimètre) puis on marque sur cet axe les points I(+ 1),\: B(+ 3),\: C$(- 3)$ d'abscisses respectives + 1, + 3 et $- 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les mesures algébriques des vecteurs $\vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{IC}}$.
\item Quelle est l'abscisse, $x$, d'un point M de $x'\text{O}x$ tel
que 
\[\overline{\text{OM}} \times \overline{\text{OI}} = \overline{\text{OB}}^2 ?\]
\item Sur une demi-droite perpendiculaire en I à $x'\text{O}x$ on marque un point A.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure du segment [IA] pour que l'égalité IA$^2 = - \overline{\text{IB}} \cdot \overline{\text{IC}}$ soit vérifiée.
		\item Calculer la mesure du segment [OA] ; la comparer à la mesure du segment [BC] et en déduire la nature du triangle ABC.
		\item Calculer la mesure du segment [AM].
	\end{enumerate}
\item Vérifier les relations
\begin{center}MA$^2 = \overline{\text{MB}} \cdot \overline{\text{MC}}$ \qquad et \qquad MA$^2 = \overline{\text{MI}} \cdot \overline{\text{MO}}$.\end{center}

Quelle est la position de la droite (MA) par rapport aux cercles de diamètres [AO] et [BC] ? 
\end{enumerate}
\end{document}