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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre chacune des expressions suivantes sous
forme d'un produit de facteurs du premier degré:
\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& 4x^2 - 12x + 9,\\
B(x)& =& (2x - 3)^2 - (8x - 12).
\end{array}\]

\item Résoudre l'équation $B(x) = 0$.
\item On considère la fraction rationnelle $E(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Quel est le domaine de définition de la fraction $E(x)$ ?

Simplifier cette fraction rationnelle. (On appellera $F(x)$
la fraction simplifiée obtenue.)
\item Résoudre les équations
\begin{center}$F(x) = 0,\quad F(x) = 1$,\quad puis $F(x) = \dfrac{x + 3}{2x + 7}$\end{center}
\item Construire, dans un même repère orthonormé $x'\text{O}x,~y'\text{O}y$, les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ayant pour équations respectives
\begin{center}$y = 2x - 3$\quad et \quad $y = 2x - 7$.\end{center}

Quelle particularité les deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$présentent-elles au point de vue de leur position relative ?

Montrer que cette particularité permet de retrouver le résultat obtenu en résolvant l'équation $F(x) = 1$ dans la quatrième question.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On construit un trapèze ABCD rectangle en A et en D et dont les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires en I. (On appellera 
[AB] la plus petite de deux bases du trapèze.) 

On trace le cercle ayant pour diamètre [BC] ; ce cercle coupe (CD) en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ce cercle passe par I.

Quelle est la valeur de l'angle $\widehat{\text{BHC}}$ ?

Quelle est la nature du quadrilatère ABHD ?
\item Démontrer que l'on a
\[\text{DA}^2 = \text{DB} \times \text{DI} = \text{DC} \times  \text{DH}.\]

\item Démontrer que les triangles ACD et HAD sont semblables.
\item On suppose, à partir de maintenant, que AB $= a$ et AD $= 2a$,\: $a$ étant une longueur donnée.

Calculer, en fonction de $a$, la longueur de chacun des segments [BD], [DI], [BI] et [AI].
\end{enumerate}
\end{document}