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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Limoges}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Limoges~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression

\[A(x) = (2x + 3)(4x + 5) + (2x + 3)^2- 4x^2 + 9.\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire $A(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné.
		\item Décomposer $A(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
		\item Calculer les valeurs numériques de $A(x)$ pour les valeurs suivantes de la variable : 
\begin{center}$x = -1$ ;\quad $x = 0$ ; \quad $x = \sqrt{3}$\end{center}
		.
(On choisira la forme de $A(x)$ qui permet les calculs les plus simples.)
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\R$, l'équation $A(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire, dans le même repère orthonormé, les droites
$D_1$ et $D_2$, ayant respectivement pour équation :

\[ y = 2x + 3 \qquad ;\qquad y = 4x + 11.\]

		\item Le point F$\left(\dfrac{3}{2}~;~6\right)$ appartient-il à la droite $D_1$ ?

Le point G$(- 2~;~4)$ appartient-il à la droite $D_2$ ?
		\item Déterminer l'équation de la  droite (FG).
		\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection I de la droite (FG) et de l'axe des ordonnées ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

$a$ étant une longueur donnée, construire un triangle ABC rectangle en A, tel que AB $= 2a$ et 

AC $= a$. Sur la perpendiculaire
à (BC) élevée en C, on porte CD = CE $= \dfrac{\text{BC}}{2}$, de
telle sorte que C soit le milieu de [DE] et que D et A appartiennent au même demi-plan de frontière (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ et la tangente de
l'angle $\widehat{\text{DBC}}$.

Prouver que les points B, A, D sont alignés.
\item Calculer, en fonction de $a$, la longueur du segment [BC],
puis le périmètre du triangle DBE.
\item Le cercle circonscrit au triangle BCE coupe (AB) en F.

Où se trouve le centre O de ce cercle ?

Prouver que le segment [AC] est tangent à ce cercle au point C.

Calculer, en fonction de $a$, la longueur du segment [AF].
\item Les segments [EF] et [BC] se coupent au point G.

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{GC}}{\text{GB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}