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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne l'expression
\[A(x) = (2x - 1)(x - 3)^2 - 4(2x - 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer cette expression et la mettre sous la forme d'un polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre cette expression sous la forme d'un produit
de trois facteurs du premier degré.

Utiliser l'une ou l'autre forme de $A(x)$ pour calculer le
plus simplement possible $A(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$:
\begin{center}$x = 0,\quad x = 1$\quad  et \quad $x = \sqrt 2$.\end{center}
\item On considère la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{(2x - 1)(x - 1)(x - 5)}{(x - 5)\left(x^2 - 1\right)}.\]

Quel est l'ensemble de définition de $F(x)$ ?

Simplifier cette fraction.

Résoudre l'équation $F(x) = - 1$.
\item Tracer dans un repère orthonormé les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations
\begin{center}$y=2x- 1$ \quad et \quad $y = - x - 1$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection des deux droites ?

Retrouver sur le graphique les résultats de la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AB] de milieu O et sa médiatrice O$z$.

Soit D le point de O$z$ tel que OD = AO.

On porte sur le prolongement de [AB],du côté de B, le segment [BC] tel que BC = OB.

Soit E la projection orthogonale de B sur (CD).

On pose AB $= 2a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère (OBED) est inscriptible dans un cercle, que l'on tracera, en précisant la position du centre.
\item Démontrer que la droite (AD) est tangente en D au cercle circonscrit au quadrilatère (OBED).
\item Montrer que la droite (EO) est bissectrice de l'angle
$\widehat{\text{BED}}$.
\item Montrer que les triangles (DOC) et (BEC)sont semblables et calculer, en fonction de $a$, les longueurs respectives des segments [DC], [DE] et [EB].
\end{enumerate}
\end{document}