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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ étant un nombre réel, mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression
\[A(x)=2 (x - 2)(x + 1) + \left(x^2 - 4\right) - 3 (1 - x)(2x - 4).\]
\item On donne l'application polynôme
\[\begin{array}{l l c l}
B :	& \R&\to			&\R,\\
	&x	& \longmapsto 	&ax^2 - 4x + b.
\end{array}\]

Déterminer $b$ et $a$, sachant que $B(0) = 4$ et $B(1) = 1$.
\item Déterminer l'ensemble d'existence (ou de définition) de la fonction $F$, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[F(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{A(x)}.\]

Simplifier $F(x)$. On trouve une nouvelle fonction, dont on demande l'ensemble de définition.
\item Soit la fonction
\[\begin{array}{l l c l}
H :& \R&\to&\R,\\
&x& \longmapsto&H(x)= \dfrac{x - 2}{9x - 2}.\end{array}\]

Calculer $H\left(\sqrt 5\right)$ et exprimer ce nombre réel sous forme d'un quotient dont le dénominateur est un nombre rationnel.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un un repère orthonormé \Oij, on donne les points 
\begin{center}A$(-2~;~4)$, \quad B(4~;~2)\quad et \quad C$(-4~;~-2)$.\end{center}

M et N étant deux points quelconques, on désigne par $\left\|\vect{\text{MN}}\right\|$ la norme de $\vect{\text{MN}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\left\|\vect{\text{AB}}\right\|$,\:$\left\|\vect{\text{AB}}\right\|$ et $\left\|\vect{\text{BC}}\right\|$.

En déduire que le triangle (A, B, C) est rectangle isocèle.

Montrer que O est le milieu du segment [BC].

Que représente la droite (AO) pour ce segment ?
\item Déterminer le point D tel que 
\[\vect{\text{OD}}  = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}.\]

Quelle est la nature du quadrilatère (A, D, B, O) ?
\end{enumerate}
\end{document}