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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[f : x\longmapsto f(x) = (5 - 3x)(2x + 1) - \left(25 - 9x^2\right) + (5 - 3x)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire f(x) sous forme d'un polynôme réduit et ordonné suivant les puissances décroissantes de x.
		\item Écrire f(x) sous forme d'un produit de facteurs du premier degré. '.
		\item Déterminer l'image par f de chacun des réels suivants:
- 1, 0 et J"i.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par
\[h(x)= \dfrac{12x^2 - 23x + 5}{(5 - 3x)(x - 4)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $h$, puis
simplifier $h(x)$.
\item Dans un repère orthonormé \Oij, tracer les représentations graphiques des fonctions affines $f_1$ et $f_2$ définies par
\[f_1 : x \longmapsto f_1(x) = 1 - 4x,\quad f_2 : x \longmapsto f_2(x) = x - 4.\]

Déterminer par le calcul et le graphique le réel $x$ tel que $h(x) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Un point M de coordonnées $\left(x_{\text{M}}~;~y_{\text{M}}\right) $ est noté
M$\left(x_{\text{M}}~;~y_{\text{M}}\right)$.

La droite passant par les points M et N
est notée \og droite (MN) \fg.  La distance entre les points M
et N est notée MN.

Le plan (P) est muni d'un repère orthonormé \Oij. Soit les points 
\begin{center}A(2~;~3),\quad  B(6~;~5)\quad  et \quad C(8~;~9).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que le quadruplet (A, B, C, D) soit un parallélogramme.

Déterminer les coordonnées du centre, K, de ce parallélogramme.
\item Calculer les distances AB et BC.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?

Quelle est la nature du triangle AKB ?
\item Soit E le point du segment [KC] tel que KE = KB.

Calculer KB, puis BE.

$a$ désignant l'écart angulaire, en degrés, de l'angle $\widehat{\text{KBA}}$ 
déterminer $\tan a$.

À l'aide d'une table trigonométrique, déterminer un
encadrement d'amplitude 1 pour $a$.
\end{enumerate}
\end{document}