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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère la fonction polynôme $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f : x  \longmapsto f(x)= \left(\dfrac73 x - 4\right)(6x + 3) - 4x - 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Mettre $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit la fonction rationnelle $h$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[h  : x \longmapsto h(x) = \dfrac{14x^2 - 21x - 14}{(2x + 1)(14x - 21)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition (ou existentiel] de $h$.
		\item Simplifier $h(x)$. On obtient $h'(x)$.
		\item Calculer $h'(0) ;\: h'\left(- \dfrac12\right)$, \: $h'\left(\sqrt 2\right)$ et
rendre le dénominateur rationnel.
	\end{enumerate}

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} tracer les représentations graphiques des fonctions affines $f_1$ et $f_2$
définies par :
\begin{center}
$f_1\left\{\begin{array}{l c l}
\R &\to &\R,\\
x&\longmapsto&f_1(x) = x - 2
\end{array}\right.$ \quad et \quad
$f_1\left\{\begin{array}{l c l}
\R &\to &\R,\\
x&\longmapsto&f_2(x) = 2x - 3
\end{array}\right.$ \end{center}

\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes
\[f_1(x) = 0\quad ;\quad f_2(x)=0\quad ;\quad f_1(x) = f_2(x).\]

Retrouver graphiquement les résultats obtenus.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère quatre points A, B, C, D définis par
\[\begin{array}{l c ll c l}
\vect{\text{OA}} &=& 3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}, &\vect{\text{OB}} &=& -2\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}\\
\vect{\text{OC}} &=& \vect{\imath} -\vect{\jmath}&\vect{\text{OD}} &=& -4\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes (ou coordonnées) des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{CD}}$.
\item Calculer $d$(A, B) et $d$(A, D).

Déduire des résultats précédents la nature du quadruplet (A, B, C, D).

Que peut-on dire des droites (AC) et (BD) ?
\item Soit $\Omega$ le point dont les coordonnées sont
$\left(-\dfrac87~;~-\dfrac17\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que C, $\Omega$ et A sont alignés.
		\item Montrer que le triangle ($\Omega$BA) est rectangle en B.
	\end{enumerate}
\item On considère la symétrie orthogonale par rapport
à la droite ($\Omega$A). 

Quelles sont les images des points A, B et $\Omega$ ?

En déduire la nature du triangle (A$\Omega$D).
\item Montrer que le cercle de centre $\Omega$ et de rayon [$\Omega$B] est tangent à la droite (AD) en D.
\item Calculer $\tan \alpha$, \: $\alpha$ étant l'écart angulaire de l'angle
géométrique $\widehat{\Omega\text{AB}}$ (unité: degré).

À l'aide du résultat précédent et de tables trigonométriques trouver la valeur approchée à un degré près par défaut de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{document}