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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit les fonctions polynômes:
\[\begin{array}{l  c l}
f(x)&=&(4x + 1)(3x - 5) - (3 - x)(5 - 3x) + 3x - 5\\
g(x)&=&(x + 2)(2x + 7) + x^2 - 4.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné suivant les puissances décroissantes de $x$ puis sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$

\[h(x) = \dfrac{9x^2 - 25}{(x + 2)(3x + 5)}.\]

Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$ ?

Donner une écriture simplifiée de $h(x)$ dans cet ensemble: soit $h'(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$, \quad $h'(x) = 0$, \quad  $h'(x) = 1$.
		\item Calculer $h'\left(- \dfrac23\right)$ et $h'\left(2\sqrt 5 \right)$ (on rendra rationnel le dénominateur).
	\end{enumerate}
\item Dans le plan $P$ muni du repère orthonormé $\left(\omega,~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ (d'unité 1~cm) tracer les représentations graphiques des fonctions affines
\begin{center}
$\begin{array}{l| l c l}
f_1 :&\R&\to &\R\\
&x&\longmapsto&3x - 5
\end{array}$ \qquad et \qquad $\begin{array}{l |l c l}
f_2 :&\R&\to &\R\\
&x&\longmapsto&x + 2
\end{array}$\end{center}

Retrouver graphiquement les résultats du 3. a.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan P muni du repère orthonormé \Oij{} (unité 1~cm) placer les points

\begin{center} A$(-4~;~-5)$ ;\qquad B$(3~;~-1)$ ;\qquad  C$\left(-6~;~-\dfrac32\right)$.\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ les vecteurs $\vect{\text{OA}},\: \vect{\text{OB}},\:\vect{\text{AB}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées de D symétrique de A par rapport à C ?
		\item Calculer $d$(AB) ; $d$(BD) ; $d$(AD) et en déduire la nature du triangle
(A, B, D).
	\end{enumerate}
\item Trouver les coordonnées de E tel que (B, A, D, E) soit un parallélogramme ; préciser sa nature et calculer les coordonnées de son centre F.
\item Démontrer que la droite (CF) est médiatrice de [AD].
\item Soit K le point de coordonnées $\left(\dfrac{13}{2}~;~1\right)$ ; les points A, K, B sont-ils alignés ?
\item Soit $x$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABD}}$, déterminer $\sin x$ et $x$.
\end{enumerate}
\end{document}