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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

On considère les applications polynômes $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$ définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3x -4)(x - 3) - (3x - 4)(1 - 2x),\\
g(x)&=&(2x - 1)^2 - (3 - x)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Utiliser l'expression obtenue pour calculer
l'image par $f$ de $\dfrac43 + \sqrt 3$.
		\item On pose $a = f\left(\dfrac43 + \sqrt 3\right)$.
		
Calculer $f(a)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $S$ des réels $x$ tels que
\[(2x - 1)^2 - (3 - x )^2 = 0.\]

\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$,
définie par

\[h(x) = \dfrac{(2x - 1)^2 - (3 - x )^2}{(3x - 4)(1 - 2x)}\]

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$ ?
\item Simplifier $h(x)$ dans $\mathcal{D}$.
\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ l'équation : $h(x) = 1$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé construire les droites (L) et (L$'$) d'équations : 
\begin{center}(L): \:$y=x+2$ ;\quad  (L$'$) : \: $y = 3x - 4$.\end{center}

\item Une parallèle à l'axe des ordonnées $(y'\text{O}y)$
coupe (L) en M et (L$'$) en N.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la distance des points M et N, évaluée en fonction de leur abscisse commune $x$, est égale à $2|x - 3|$.
		\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection A des droites (L) et (L$'$)?
		\item Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que l'on ait $d$(M, N) $= 1,5$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\bigskip

Dans le plan euclidien $(P)$ muni d'un repère
orthonormé \Oij{} on considère les points : 
\begin{center}A$(-4~;~2)$,\quad C$(2~;~-2)$,\quad D(1~;~3)\quad et \quad I(1~;~0).\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées (ou composantes) des vecteurs : $\vect{\text{AC}},\: \vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{DC}}$.
\item Calculer les distances : $d$(A, C), $d$(A, D) et $d$(D, C).
\item Quelle est la nature du triangle (A, C, D) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées du milieu E du bipoint (A, C) et du symétrique B de D par rapport à E ?
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées $x$ et $y$ du point S tel que
\[\vect{\text{ES}} = 3\vect{\text{ED}} ?\]

\item Soit N le milieu du bipoint (C, S). Montrer que les points A, D, N sont alignés.
\end{enumerate}

\textbf{Partie D}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (EI) et (DI) sont orthogonales.
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire $u$ de l'angle géométrique $\widehat{\text{EDI}}$.
\item L'unité étant le degré, utiliser une table trigonométrique pour donner $u$ à 1 près par défaut.

\end{enumerate}
\end{document}