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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x)= (3x -5)^2 - (3x - 5)(4x +3)+ 9x^2 - 25.\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$ pour résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item Calculer $f(0), \: f\left(\dfrac53\right),\:f\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les droites $(D)$ et $\left(D'\right)$ qui ont pour équations respectives

\begin{center} $y = 2x - 3$\quad  et \quad $y = 3x - 5.$\end{center}

		\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection M de ces deux droites ?
		\item Trouver une équation de la droite (L) contenant A(0~;~4) et parallèle à la droite $(D)$. 
		
Tracer (L) dans le même repère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

L'unité de longueur adoptée est le centimètre.

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A$(-1~;~8)$,\qquad B(3~;~6)\quad et \quad C(6~;~12).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances : $d$(A, B), $d$(B, C),
$d$(A, C).
\item Montrer que (A, B, C) est un triangle rectangle.
\item Soit M le milieu du bipoint (A, C) :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point M.
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BM}}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les droites (BM) et (OA) sont parallèles.
\item Soit D le symétrique de A par rapport à B :
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées du point D ?
		\item Quelle est la nature du quadruplet (O, A, C, D)?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

{\small\textbf{N. B.} - On représentera les points A ; B ; C ; D ; M dans le plan.}
\end{document}