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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1984}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par :

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (3x + 5)^2- 4(x - 2)^2 \\
g(x) &=& 2x + 18 - \left(x^2 - 81\right)
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Calculer : $f(- 9),\: g\left(\dfrac32\right),\:f(0),\: f\left(\sqrt 3\right)$.
\item Résoudre dans $\Z$ : $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, construire les droites 
$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives :

\begin{center}$2x - y - 6 = 0$\quad  et\quad  $3x + y + 1 = 0$\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lire, sur le graphique, les coordonnées du point d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
		\item Vérifier ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement dans $\R \times \R$ le système d'inéquations :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x - y - 6&>&0 \\
3x + y + 1&<&0
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points A, B, C définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A(2~;~2), \qquad B$(3~;~-2)$, \qquad C$(-1~;~-1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
		\item Déterminer les coordonnées du point D par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(A, B) et $d$(B, C).
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?

Justifier la réponse.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux.
\item Montrer que le point O appartient à la droite (AC).
\end{enumerate}
\end{document}