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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $5x - 10 = 0$.
\item $25x^2 = 100$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $g$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[g(x) = 5x - 10 + (x - 2)(x + 3)+ x^2 - 4.\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ : $g(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction affine $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x) = 5x - 10.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)\:;\: f(2)$.
\item Représenter graphiquement $f$ dans un repère
orthonormé \Oij{} (l'unité de longueur étant le centimètre).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\bigskip

Soit (BB$'$C) un triangle équilatéral et A le milieu
du segment [BB$'$]. On sait que $d$(A, C) $= 3\sqrt 3$ (en centimètres ).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$ en degrés.
\item Calculer les distances
	\begin{enumerate}
		\item $d$(B, C).
		\item $d$(A, B).
		\item $d$(A, H) où H est la projection orthogonale de A sur (BC).
	\end{enumerate}	
\item Faire une construction soignée de la figure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

Dans le repère orthonormé \Oij, on considère les points 

\begin{center}A$\left(\dfrac12~;~-\dfrac32\right)$, \qquad B$\left(\dfrac92~;~\dfrac52\right)$ \quad et \quad  C(3~;~6).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point A$'$, milieu du segment [BC].
\item Soit B$'$ le milieu du segment [AC]. Soit C$'$ le milieu du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne de la droite (BB$'$) puis une équation cartésienne de la droite (CC$'$).
		\item Déterminer les coordonnées du point
d'intersection G des droites (BB$'$) et (CC$'$).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point F tel que : 
		
		\[\vect{\text{FA}} + 2\vect{\text{FA}'} = \vect{0}.\]
		
		\item Montrer que les points F et G sont confondus.
		
Faire une figure (l'unité de longueur est 2 cm).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}