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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x) = (x - 3)(2x + 1) + (2x - 6) + x - 3.\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $g$ la fonction affine de $\R$ dans $\R$ définie par :

\begin{center}$g(x) =ax + b$ où $a$ et $b$ désignent deux réels.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les réels $a$ et $b$ sachant que $g(0) = 5$ et $g(-1) = 2$.
\item Quelle est l'image par $g$ du nombre $- \dfrac13$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle OAT rectangle en T où OT $= 3$ (en centimètres) et AT $= 4$ (en centimètres).
\item Soit T$'$ le symétrique du point T par rapport à O.

Tracer la parallèle à la droite (OA) passant par T$'$. Elle coupe la droite (AT) en un point B.

Calculer la longueur AB.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le cube ci-dessous d'arête AB $= 8$ (en centimètres). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AC.
\item Calculer l'aire du rectangle ACC$'$A$'$, en cm$^2$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\psframe(0.2,0.2)(3.3,3.3)%ABB'A'
\psline(3.3,0.2)(4.7,1.5)(4.7,4.6)(3.3,3.3)%BCC'B'
\psline(4.7,4.6)(1.6,4.6)(0.2,3.3)%C'D'A'
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.6,1.5)(4.7,1.5)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.6,4.6)(1.6,1.5)%D'D
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.3,0.2){B} \uput[r](4.7,1.5){C} \uput[dr](1.6,1.5){D}
\uput[l](0.2,3.3){A$'$} \uput[dr](3.3,3.3){B$'$} \uput[ur](4.7,4.6){C$'$} \uput[u](1.6,4.6){D$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}
placer les points : 

\begin{center}A$(-4~;~2)$,\qquad C$(-1~;~5)$,\qquad D(1~;~0).\end{center}

\smallskip

On construira une figure soignée sur papier millimétré, l'unité de longueur étant 1cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [AC].
\item Construire la droite $(\Delta)$ d'équation : $5x + 2y - 5= 0$.
\item Donner une équation de la droite (AD).
\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite (AD) avec la droite $(\Delta)$ ? 

Justifier votre réponse.
\item Démontrer que le triangle ACD est isocèle.
\end{enumerate}
\end{document}