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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1989}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer :

\[\dfrac{4}{15} - \dfrac73\:;\qquad \dfrac38 + \dfrac56 \:; \qquad \dfrac{25}{12} \times  \dfrac{14}{5}\:; \qquad  \dfrac95 : 18.\]

et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre, dans $\R$,

\[5 - 4(2x - 1) = 5.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x) = 25x^2 - 4 + (5x + 2)(4x - 7)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un fabricant facture $350$ chaises identiques au prix de
\np{36750}~F{}.

Quel aurait été le prix de \np{1250} de ces chaises ?

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.3,1.9)
\psline(0.2,1.7)(0.2,0.2)(7.2,0.2)%GAB
\psline(2,0.3)(2,0.1)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[d](7.2,0.2){B} \uput[d](2,0.2){F} \uput[l](0.2,1.7){G}
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire le dessin ci-dessus en prenant pour unité le centimètre :

\[\text{AF} = 2\:;\quad \text{FB} = 5\:;\quad \text{AG} = 1,5 ;\]

(AG) est perpendiculaire à (AB) et B appartient à (AF).
 
Tracer ensuite la parallèle à (GF) passant par B. Cette droite coupe (AG) en K.
\item Calculer GF.
\item Calculer AK.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dessiner un triangle AMK rectangle en A tel que AM $= 4$~cm et AK $= 3$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point H tel que $\vect{\text{AH}} = \dfrac73\vect{\text{AK}}$, puis le point N tel que $\vect{\text{AN}} = \vect{\text{AM}} + \dfrac73\vect{\text{AK}}$.
\item Démontrer que AMNH est un rectangle.
\item Calculer $\tan \widehat{\text{AMH}}$. 

En déduire une valeur approchée de la mesure en degrés de $\widehat{\text{AMH}}$ à un degré près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} du plan où l'unité
est le centimètre, placer les points

\[\text{A}(3~;~3)\:;\quad \text{B}(6~;~0)\:;\quad  et \text{C}(2~;~0).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $(d)$ la droite d'équation $y = - x + 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que A et B sont deux points de $(d)$. 
		\item Calculer la distance AB.
	\end{enumerate}	
\item Soit [AM] la hauteur issue de A dans le triangle ABC. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées de M ?
		\item Calculer l'aire $S_1$ en cm$^2$ de ABC. 
	\end{enumerate}
	
(Rappel : l'aire d'un triangle de base $b$, de hauteur $h$, est égale à $\dfrac{b \times h}{2}$).

\item Soit [CK] la hauteur issue de C dans le triangle ABC ; calculer CK. (On pourra utiliser l'aire du triangle ABC.)
\item Soit E$(0~;~- 6)$. Démontrer que (EB) est parallèle à (CK) et que les points A, C, E, sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}