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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1990}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les trois exercices qui suivent sont indépendants.\\ Aucun résultat ne sera pris en compte s 'il n'est accompagné des calculs correspondants.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire

\[E = (2x - 1)^2 - 4x(x - 1,3) - 1.\]

\item Factoriser

\[F = (x - 2)(x + 4) - \left(x^2 - 4\right).\]

\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $E \leqslant F$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Alain et Pierre désirent acheter en commun un lecteur de
disques compacts qui coûte \np{2000}~F.

Les économies de Pierre représentent les $\dfrac45$ de celles d'Alain,
et s'ils réunissent leurs économies, il leur manque $272$~F pour pouvoir effectuer leur achat.

Calculer le montant des économies de chacun des deux garçons.

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle ABC tel que

\[\text{AB} = 7~\text{cm}, \text{AC} = 6~\text{cm} \:\text{et BC} = 5 \text{cm}\]

et soit I le point du segment [AB] tel que AI $= 4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point J image de I par la translation de
vecteur $\vect{\text{BC}}$.

Justifier la construction.
\item La droite (AI) coupe la droite (BC) en K.

Calculer la longueur BK.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, où l'unité est
le centimètre, placer les points

\[\text{A}(1~;~3),\: \text{B}(0~;~5) \:\text{et C}(-2~;~-1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Donner une équation de la droite $(d)$ passant par A et de coefficient directeur $- 2$.
\item[$\bullet~$] Vérifier que le point B appartient à $(d)$ et tracer $(d)$.
\end{itemize}

\item Soit $(d')$ la droite d'équation

\[y = \dfrac12 x.\]

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]Montrer que (d) et (d') sont perpendiculaires.
\item[$\bullet~$]Vérifier que le point C appartient à $(d')$ et tracer $(d')$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre; $x$ désigne un nombre strictement positif.

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Soit ABCD un trapèze rectangle de bases [AB] et [DC] tel que : AB $= x$, DC $= 2x$ et AD = 3.

Calculer l'aire de ce trapèze en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,2.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(1.5,0.2)(2.5,2)(0.2,2)%ABCD
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)\psframe(0.2,2)(0.4,1.8)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](1.5,0.2){B} \uput[ur](2.5,2){C} \uput[ul](0.2,2){D}
\uput[d](0.85,0.2){$x$} \uput[u](1.35,2){$2x$} \uput[l](0.2,1.1){3} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\emph{Rappel} :

Aire d'un trapèze $= \dfrac12$. hauteur. (grande base + petite base).


\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}[resume,start=2]
\item Une pyramide P de sommet S a pour base le trapèze ABCD et pour hauteur
SA $= 4x$.

Montrer que le volume de cette pyramide est $V = 6x^2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide pour $x = 2,5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(3.2,4)
\pspolygon(0.2,0.2)(0.2,3.6)(0.8,0.2)(2.8,1)(0.2,3.6)%ASBCS
\psline(0.2,0.2)(0.8,0.2)%AB
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\psline(0.2,1.9)(0.52,1.9)(1.5,2.35)%A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,1)(2.8,1)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.9)(0.7,2.33)(1.5,2.33)%A'D'C'
\psline[linestyle=dashed](0.2,3.6)(1.2,1)%SD
\psline(0.1,1)(0.3,1.2)\psline(0.1,2.4)(0.3,2.6)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](0.8,0.2){B} \uput[r](2.8,1){C} \uput[ur](1.2,1){D}
\uput[u](0.2,3.6){S}\uput[l](0.2,1.9){A$'$}\uput[dr](0.52,1.9){B$'$}\uput[ur](1.47,2.33){C$'$}
\uput[ur](0.7,2.33){D$'$}

\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}[resume,start=2]
		\item Pour quelle valeur de $x$ le volume de la pyramide est-il égal
à $54$ cm$^3$ ?
	\end{enumerate}
\item Soit N le milieu de [SA]. On coupe la pyramide P par un plan passant par A$'$ et parallèle à la base ABCD.
	\begin{enumerate}
		\item Ce plan coupe la pyramide selon un trapèze NB$'$C$'$D$'$.

Quelle est son aire en fonction de $x$ ?
		\item Quel est le volume de la pyramide SNB$'$C$'$D$'$ lorsque $x = 3$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}