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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1991}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un carré ABCD a un côté de $8$ cm.
On découpe dans un coin le carré BEFG de côté $x$ (en cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par le calcul, la valeur de $x$ pour laquelle l'aire
de BEFG est égale au quart de l'aire de ABCD.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de BEFG est égale à l'aire de la figure AGFECD hachurée. 

On en donnera une valeur approchée arrondie au 1/10\up{e}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.3,4.6)
\psframe(0.2,0.2)(3.9,3.9)%DCBA
\psline(1.5,3.9)(1.5,1.5)(3.9,1.5)%GFE
\pspolygon[fillstyle=vlines](0.2,3.9)(1.5,3.9)(1.5,1.5)(3.9,1.5)(3.9,0.2)(0.2,0.2)
\uput[ul](0.2,3.9){A} \uput[ur](3.9,3.9){B} \uput[dr](3.9,0.2){C}\uput[dl](0.2,0.2){D} 
\uput[r](3.9,1.5){E} \uput[ur](1.5,1.5){F} \uput[u](1.5,3.9){G}
\uput[u](2.7,3.9){$x$} \uput[r](3.9,2.7){$x$} \uput[l](0.2,2.05){$8$}\uput[d](2.05,0.2){$8$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre chacune des équations suivantes après l'avoir éventuellement transformée en une équation produit :

\begin{enumerate}
\item $(x - 4) (2x + 1) = 0$
\item $(x + 3)^2 + (x + 3) (x + 1) = 0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur le schéma ci-après (qui n'est pas en vraie grandeur) les longueurs AD et DE sont inconnues.

Calculer ces longueurs en sachant que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5)
%\psgrid
\psline(0.3,0.4)(5.3,0.4)
\psline(0,4.3)(3.8,4.3)
\psline(0.2,4.4)(5.1,0.1)
\psline(0.5,0)(3.4,4.7)
\uput[r](2.17,2.75){A} \uput[ul](0.77,0.4){B} \uput[ur](4.78,0.4){C}
\uput[dl](0.3,4.3){D} \uput[ur](3.17,4.3){E} \uput[u](1.8,4.3){$y$}
\uput[dl](1.2,3.4){$x$} \uput[dr](2.7,3.5){7} \uput[ul](1.4,1.5){12}
\uput[ur](3.4,1.6){15} \uput[d](2.8,0.4){18}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le dessin ci-dessous représente en partie le patron d'une
pyramide régulière SABCD à base rectangulaire.
\begin{enumerate}
\item Terminer ce patron.
\item  Calculer la hauteur SI du triangle équilatéral SDC. 

En déduire l'aire de ce triangle.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,-5)(2.2,1.9)
%\psgrid
\pspolygon(-1.9,1.4)(1.9,1.4)(1.9,-1.4)(0,-4.8)(-1.9,-1.4)%ABCSD
\psline(-1.9,1.4)(1.9,-1.4)(-1.9,-1.4)%AC
\psline(1.9,1.4)(-1.9,-1.4)%BD
\psframe(-1.9,1.4)(-1.7,1.2)
\psframe(1.9,1.4)(1.7,1.2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0,1.4)(0,-1.4)(0.95,-3.1)(-0.95,-3.1)
\psdots[dotstyle=BoldBar,dotangle=45,dotscale=1.6](-1.9,0.05)(1.9,0.05)(-1.9,-0.05)(1.9,-0.05)
\uput[ul](-1.9,1.4){A} \uput[ur](1.9,1.4){B} \uput[dr](1.9,-1.4){C}
\uput[dl](-1.9,-1.4){D} \uput[u](0,0){H} \uput[d](0,-4.8){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J), l'unité de longueur choisie étant le centimètre.

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-4)(8.5,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-4)(8.5,6)%,xsubticks=1,ysubticks=1
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](1,-2)(3,2)(7,0)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psline[linestyle=dotted](0,2)(3,2)(3,0)%ABC
\uput[r](1,-2){A} \uput[u](3,2){B} \uput[u](7,0){C} \uput[u](1,0){I} \uput[r](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

On donne les points A, B, C de coordonnées: A(1~;~- 2),\quad B(3~;~2),\quad C(7~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
\item La droite (AC) détermine une application affine. 

Exprimer cette application sous la forme $y = mx + p$.
\item Vérifier que les points B et D appartiennent à la droite d'équation $y = - 3x + 11$.
\item Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.
\item Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ?
\item Calculer les longueurs AC et BD. 

En déduire que ABCD est un carré.
\end{enumerate}
\end{document}